Béton Armé II
Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Département GCU
Cours de 4ème année
Version 1.6
©QHN2016
Quang H...
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Table des matières
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Béton Armé I
• Chapitre 1: Introd...
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Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Les différents Eurocodes
NF EN 1990 Eurocode 0 : Bas...
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Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode ...
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Projet de conception d’un bâtiment
1. Modèle structure
2. Actions sur la structure
• Charges permanentes
 poids propres...
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Plan d’architecte
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
7
Régions de vent Eurocode 1 France - EN1991-1-4 NA
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
8
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Régions de neige Eurocode 1 France - EN1991-1-3 NA:2...
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Zonage sismique de la France
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Chapitre 9: Effort tranchant 2
9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effo...
Chapitre 9: Effort tranchant 3
9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
• Tout élément linéaire soumis à un moment fléchissant v...
Chapitre 9: Effort tranchant 4
• L’élément de trace BD est soumis à une contrainte de traction égale à 𝜏b  risque de fiss...
Chapitre 9: Effort tranchant 5
• Afin d’empêcher le développement de fissures dues aux cisaillements, il est nécessaire de...
Chapitre 9: Effort tranchant 6
Rupture par cisaillement
Raison ?
Chapitre 9: Effort tranchant 7
9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant
De nombreux essais eff...
Chapitre 9: Effort tranchant 8
Avec l’augmentation de la charge, la rupture se produit habituellement selon un des deux mo...
Chapitre 9: Effort tranchant 9
3. 1 < av/d < 2.5: Pour des rapports av/d inférieurs à environ 2,5 mais supérieur à 1, la f...
Chapitre 9: Effort tranchant 10
9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant
Considérons un morceau de poutre entre deux fis...
Chapitre 9: Effort tranchant 11
• Si la présence de la fissure ne provoque aucune perte de raideur au cisaillement, la dis...
Chapitre 9: Effort tranchant 12
9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré
Le calcul en phase élastique...
Chapitre 9: Effort tranchant 13
Les contraintes principales peuvent être déterminées grâce à la relation:
L’angle  entre ...
Chapitre 9: Effort tranchant 14
• En pratique, le calcul des contraintes principales s’avère nécessaire lorsque l’on veut ...
Chapitre 9: Effort tranchant 15
9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU (état fissuré)
L’EC2 dis...
Chapitre 9: Effort tranchant 16
9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch
Le fonctionnement d’une poutre en BA...
Chapitre 9: Effort tranchant 17
Différents modèle de treillis multiples
• Chaque cadre du modèle représente
un certain nom...
Chapitre 9: Effort tranchant 18
9.4.1 Équation pour VRd,s : Résistance des armatures d’effort tranchant
• Considérons les ...
Chapitre 9: Effort tranchant 19
9.4.2 Équation pour VRd,max : Résistance des bielles de compression du béton
Équilibre ver...
Chapitre 9: Effort tranchant 20
9.4.3 Règle du décalage de moment
"Par suite de la fissuration oblique, l’effort de tracti...
Chapitre 9: Effort tranchant 21
Décalage de moment selon l’EC2
On distingue deux cas :
• L’élément ne comporte pas d’armat...
Chapitre 9: Effort tranchant 22
9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis
Cas des charges réparties
C...
Chapitre 9: Effort tranchant 23
Cas des charges concentrées
la valeur de l’effort tranchant développé par ces charges est ...
Chapitre 9: Effort tranchant 24
9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant (EC2-1-1 §6.2.2)
Dans les zones de l’élément...
Chapitre 9: Effort tranchant 25
 k est un coefficient tenant compte de l’effet
d’échelle
 𝜎cp est la contrainte de compr...
Chapitre 9: Effort tranchant 26
En introduisant la valeur de CRd,c, vmin et k1 dans l’expression précédente, on peut défin...
Chapitre 9: Effort tranchant 27
9.5.2 Vérifications
Nécessité de prévoir des armatures d’effort tranchant
• Il n’y a pas l...
Chapitre 9: Effort tranchant 28
Remarques sur l’application des articles §6.2.1(6) et §6.2.2(6) de l’EC2 dans le cas des é...
Chapitre 9: Effort tranchant 29
9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales (EC2-1-1 §6.2.1(4) et §9.2.2)
• Même lorsque ...
Chapitre 9: Effort tranchant 30
On remarque que, dans le cas d’élément en béton armé (𝜎𝑐𝑝 = 0), la résistance produite par...
Chapitre 9: Effort tranchant 31
9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant
Principe: Dans les zon...
Chapitre 9: Effort tranchant 32
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
...
Chapitre 9: Effort tranchant 33
9.5.2 Cas particulier des armatures droites 𝛼 = 90°
• La résistance de l’élément à l’effor...
Chapitre 9: Effort tranchant 34
9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites (𝛼 = 90°)
• On es...
Chapitre 9: Effort tranchant 35
1. Détermination de l’angle 𝜃 des bielles
• Si avec
• Si
• Si
 cot𝜃 est déterminé en réso...
Chapitre 9: Effort tranchant 36
2. Une fois cot déterminé, on le reporte dans la deuxième équation, On obtient:
3. Choisi...
Chapitre 9: Effort tranchant 37
9.7 Éléments de hauteur variable
• Les forces internes dues à l’action du moment fléchissa...
Chapitre 9: Effort tranchant 38
Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
9.8 Dispositions constructives d’ar...
Chapitre 9: Effort tranchant 39
Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
d. La quantité d’armatures d’effort...
Chapitre 9: Effort tranchant 40
• L’effort tranchant de calcul des aciers à proximité du nu d’appui
• L’effort tranchant d...
Chapitre 9: Effort tranchant 41
red
EdV
Ed,calV
2.25d
2.25d
0 d 2.25d
Edcourbe d'effort tranchant V
Diagramme de calcul av...
Chapitre 9: Effort tranchant 42
Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant
Données:
• Caractéristiques mé...
Chapitre 9: Effort tranchant 43
Tracer le diagramme de l’effort tranchant
Les armatures d’effort tranchant sont-elles néce...
Chapitre 9: Effort tranchant 44
Calculer la quantité nécessaire des armatures d’effort tranchant
• On constate qu’en dehor...
Chapitre 9: Effort tranchant 45
Vérifier les conditions d’espacement (clause 9.2.2(6)) ,max ,max0,75 75 cm sl ls d s ok ...
Chapitre 9: Effort tranchant 46
B. Cas des charges ponctuelles et réparties
Calcul de l’effort tranchant VEd,cal à l’about...
Chapitre 9: Effort tranchant 47
Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant dans le cas de charge ponctuel...
Chapitre 9: Effort tranchant 48
Choisir l’angle de la bielle d’about
Déterminer la section des cadres
• La bielle d’about ...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 2
10.1 Généralités
10.2 Limitation des contraintes
10.2.1 Dispositions au niveau béton...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 3
10.1 Généralités
 Les éléments de structure en béton armé, soumis à un moment de fl...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 4
10.2 Limitation des contraintes (EC2-1-1 §7.2)
10.2.1 Dispositions au niveau béton
•...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 5
10.3 Limitation des flèches (EC2-1-1 §7.4)
EC2-1-1§7.4.1:
• La déformation d'un élém...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 6
10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS
10.4.1 Module effectif du béto...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 7
10.4.2 Coefficient d’équivalence αe
• En BA les sections sont pratiquement homogénéi...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 8
10.5 Maîtrise de la fissuration (EC2-1-1 §7.3)
10.5.1 Considérations générales
• La ...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 9
• L’EC2 renvoie aux Annexes nationales pour fixer les limites des ouvertures des fis...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 10
10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (EC2-1-1 §7.3.3)
• Cette métho...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 11
En flexion simple, le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit :
où...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 12
Espacement réel des barres longitudinales
Soit n le nombre de barres longitudinales...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 13
10.6 Calcul des contraintes à l’ELS
10.6.1 Hypothèses
• Les sections planes restent...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 14
 Armatures tendues:
 Armatures comprimées:
10.6.3 Section rectangulaire non fissu...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 15
 Armatures tendues:
 Armatures comprimées:
10.6.4 Section en T non fissurée
• Air...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 16
10.6.5 Moment de fissuration Mcr
C’est un moment critique qui délimite l’apparition...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 17
10.6.6 Section rectangulaire fissurée
MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 18
10.6.7 Section en T fissurée
• Si xtest ≤ ℎt l’axe neutre est dans la table de comp...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 19
10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS
Problème:
 Données: MEd,...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 20
2. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 21
3. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées. Trois solut...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 22
5. Déterminer le diamètre et l’espacement des barres pour la maîtrise de fissuratio...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 23
10.7.2 Section en T
1. Position de l’axe neutre correspondant à un diagramme de con...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 24
6. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 25
10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des section...
w effb b
2
eff f f
Tser 1
1 f2 3
s
e
b h h
M d
d h


 
     Section en T
non
Ed,ELS TserM M
w effb b
oui
S...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 27
10.7.4 Exemple de calcul des armatures à l’ELS d’une poutre en T
Soit les poutres i...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 28
Ø25
Ø25
Ø25
25
50 cm
150 cm
15 cm
125 cm
cnom = 40 mm
3 lits de 5HA25
5HA12
(armatu...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 29
10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS
Après le dimensionnement ...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 30
10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul (§7.4.2)
EC2-1-1§7.4...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 31
Tableau 7.4N : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile en fonction de pourc...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 32
10.8.3 Vérification des flèches par le calcul (§7.4.3)
1. Cas des sections non fiss...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 33
La méthode la plus rigoureuse pour déterminer la flèche consiste à calculer la cour...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 34
Principe du calcul des flèches par les courbures
r1, r2, r3, r4, r5
r1, r2, r3, r4,...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 35
Méthode simplifiée pour le calcul des flèches
• L’EC2 reconnaît que cette technique...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 36
10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par un calcul direct (§7.3.4)
• Lor...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 37
 𝜀sm est la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 38
10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature (§7.3.2)
Il faut vérifier que...
Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 39
10.8.6 Exemple de vérifications d’une poutre à l’ELS
Soit une poutre de 25x40 cm² d...
Chapitre 11: Flexion composée 2
11.1 Généralités
11.1.1 Définition
11.1.2 Excentricité
11.2 Imperfections géométriques
11....
Chapitre 11: Flexion composée 3
11.1 Généralités
11.1.1 Définition
Une section en BA est soumise à la flexion composée lor...
Chapitre 11: Flexion composée 4
11.1.2 Excentricité
Il est souvent utile d’exprimer une sollicitation de flexion composée ...
Chapitre 11: Flexion composée 5
En repérant la position de l’axe neutre par sa profondeur x comptée positivement vers le b...
Chapitre 11: Flexion composée 6
Rupture par flambement de poteaux en béton armé
Chapitre 11: Flexion composée 7
11.2 Imperfections géométriques
• Les imperfections géométriques de la structure à l’ELU d...
Chapitre 11: Flexion composée 8
11.2.1 Cas des éléments isolés
Dans le cas d’éléments isolés (poteau isolé), les effets de...
Chapitre 11: Flexion composée 9
11.2.2 Cas des structures
• On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversal...
Chapitre 11: Flexion composée 10
11.3 Effets du second ordre (EC2 §5.1(4)).
• Les effets du second ordre traduisent l’infl...
Chapitre 11: Flexion composée 11
11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre
11.4.1 Cas des éléments isolés
•...
Chapitre 11: Flexion composée 12
11.4.2 Cas des structures
On peut négliger les effets globaux du second ordre dans les bâ...
Chapitre 11: Flexion composée 13
11.5 Sections partiellement comprimées
11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS
a)...
Chapitre 11: Flexion composée 14
11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU
a) NEd étant une compression (NEd > 0)
• ...
Chapitre 11: Flexion composée 15
11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS)
• On se place dans le cas où ...
Cours Béton Armé II _ Nguyen Quang Huy
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Cours Béton Armé II _ Nguyen Quang Huy

  1. 1. Béton Armé II Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 Département GCU Cours de 4ème année Version 1.6 ©QHN2016 Quang Huy Nguyen MCF-HDR, Dr.Ing. qnguyen@insa-rennes.fr
  2. 2. 2 Table des matières Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 Béton Armé I • Chapitre 1: Introduction • Chapitre 2: Propriétés des bétons • Chapitre 3: Propriétés des aciers d’armature • Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement • Chapitre 5: Bases générales de la flexion • Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU • Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures • Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures Béton Armé II • Chapitre 9: Effort tranchant à l’ELU • Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS • Chapitre 11: Flexion composée • Chapitre 12: Flexion déviée • Chapitre 13: Effort rasant • Chapitre 14: Torsion
  3. 3. 3 Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 Les différents Eurocodes NF EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures NF EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures NF EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton NF EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier NF EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton NF EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois NF EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie NF EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique NF EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes NF EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en alliages d'aluminium
  4. 4. 4 Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 EN 1990 Eurocode 0 Bases de calcul EN 1991 Eurocode 1 Actions EN 1992 Eurocode 2 Béton EN 1993 Eurocode 3 Acier EN 1994 Eurocode 4 Acier-béton EN 1995 Eurocode 5 Bois EN 1996 Eurocode 6 Maçonnerie EN 1999 Eurocode 9 Aluminium EN 1997 Eurocode 7 Géotechnique EN 1999 Eurocode 8 Séisme Sécurité structurale, aptitude au service, durabilité et robustesse Actions et charges sur les structures Conception, dimensionnement et dispositions constructives: règle de calcul pour différents matériaux Calcul géotechnique et sismique Lien entre les Eurocodes
  5. 5. 5 Projet de conception d’un bâtiment 1. Modèle structure 2. Actions sur la structure • Charges permanentes  poids propres (plan architectural)  équipements … • Charges variables  Surcharges d’exploitation (catégorie du bâtiment)  Surcharges climatiques o Vent (EC1) o Neige (EC1)  Action sismique 3. Combinaison des actions (Chapitre 4 et EC0) 4. Descente de charges (TD BA1 et BA2) 5. Analyse structurale (Chapitre 4)  sollicitations de calcul à l’ELU et à l’ELS Problème de dimensionnement 6. Calcul des armatures à l’ELU et vérification à l’ELS • Poutres et dalles (Chapitre 5, 6, 9,10, 12, 13 et 14) • Poteaux et voiles (Chapitre 9, 10, 11 et 12) Problème de vérification 7. Calcul de résistance de chaque élément structural: XRd ≥ XEd Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
  6. 6. 6 Plan d’architecte Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
  7. 7. 7 Régions de vent Eurocode 1 France - EN1991-1-4 NA Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
  8. 8. 8 Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 Régions de neige Eurocode 1 France - EN1991-1-3 NA:2007 Régions: A1 A2 B1 B2 C1 C2 D E Valeur caractéristique (Sk en kN/m2) de la charge de neige sur le sol à une altitude inférieure à 200m 0,45 0,45 0,55 0,55 0,65 0,65 0,9 1,4 Valeur de calcul S,d de la charge exceptionnelle de neige sur le sol - 1 1 1,35 - 1,35 1,8 - Loi de variation de la charge caractéristique pour une altitude supérieure à 200m Δs2Δs1
  9. 9. 9 Zonage sismique de la France Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
  10. 10. Chapitre 9: Effort tranchant 2 9.1 Introduction 9.1.1 Généralités 9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant 9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant 9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré 9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU 9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch 9.4.1 Résistance des armatures d’effort tranchant 9.4.2 Résistance des des bielles de compression du béton 9.4.3 Règle du décalage de moment 9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis 9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant 9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence 9.5.2 Vérifications 9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales 9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant 9.6.1 Cas général des armatures inclinées 9.6.2 Cas particulier des armatures droites 9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites 9.7 Éléments de hauteur variable 9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant 9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant 9.9.1 Principe du calcul des répartitions 9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
  11. 11. Chapitre 9: Effort tranchant 3 9.1 Introduction 9.1.1 Généralités • Tout élément linéaire soumis à un moment fléchissant variable M subit simultanément un effort tranchant V = dM/dx, qui produit des contraintes de cisaillement 𝜏 (appelées aussi contraintes tangentielles). • Ces contraintes influencent la valeur et la direction des contraintes principales de traction et de compression. Trajectoires des contraintes principales dans une dans une poutre simple soumise à une charge uniformément repartie à l’état non fissuré
  12. 12. Chapitre 9: Effort tranchant 4 • L’élément de trace BD est soumis à une contrainte de traction égale à 𝜏b  risque de fissuration à 45° là où 𝜏b est élevé (voisinage des appuis) • L’élément de trace AC est soumis à une contrainte de compression égale à 𝜏b  risque d’écrasement du béton suivant les « bielles » découpées par les fissures Remarques:  lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion 𝜎𝑡 = 𝜎𝑐 = 𝜏 𝑏 n’est plus valable. Il y a redistribution des efforts entre les armatures d’âme tendues et les bielles comprimées.  Les champs des contraintes principales de compression du béton sont appelés des bielles de compression. Trajectoires des contraintes principales à l’état fissuré Trajectoires de traction Trajectoires de compression Contraintes de flexion Contraintes de cisaillment b b b b A C B D Zone de compresion B D b b C t Traction C om pression b b A CD c  dx dy
  13. 13. Chapitre 9: Effort tranchant 5 • Afin d’empêcher le développement de fissures dues aux cisaillements, il est nécessaire de mettre en place des armatures transversales, souvent nommées « armatures d’effort tranchant ». Ces armatures compensent le mauvais comportement du béton en traction. • Dans certains cas, notamment pour les dalles, la mise en place d’une armature transversale, sous forme d’étriers, s’avère compliquée et coûteuse. Sous certaines conditions, il est possible de s’en passer, si les contraintes 𝜏 sont suffisamment faibles. Poutre sans armature d’effort tranchant: système porteur arc-tirant q • En cas d’absence d’armatures d’effort tranchant, le comportement structural de la poutre change et s’approche de celui d’un arc à tirant. Remarques:  Comme les contraintes principales sont orientées à ± 45°, l’utilisation des armatures transversales inclinées du même angle est mécaniquement plus efficace. L’EC2 permet une telle inclinaison.  En pratique, les armatures transversales droites sont beaucoup plus simple à mettre en place sur le chantier et surtout qu’elles évitent une inversion (toujours possible) de la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles sont presque toujours privilégiées par rapport à des armatures inclinées
  14. 14. Chapitre 9: Effort tranchant 6 Rupture par cisaillement Raison ?
  15. 15. Chapitre 9: Effort tranchant 7 9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant De nombreux essais effectués sur des poutres rectangulaires simplement appuyées soumises à un effort croissant provoqué par l’application d’une charge ponctuelle, ont montré que le mode de rupture dépend fortement du rapport av/d entre la distance de l’appui au point d’application de la charge (av) et la hauteur effective de la poutre (d). Ceci permet de distinguer les modes principaux de rupture suivants: 1. av/d > 6: Les poutres pour lesquelles le rapport av/d est aussi élevé atteignent la rupture par flexion. 2. 2.5 < av/d < 6: Les poutres avec un rapport av/d inférieur à 6 tendent à se rompre par effort tranchant. Lorsque l’effort V augmente, la fissure de flexion a-b la plus proche de l’appui se propage vers le point d’application de la charge en s’inclinant graduellement (fissure diagonale a-b-c).
  16. 16. Chapitre 9: Effort tranchant 8 Avec l’augmentation de la charge, la rupture se produit habituellement selon un des deux modes suivants: (a) Si av /d est relativement élevé (≈ 6), la fissure diagonale va rapidement atteindre le point e, provoquant la rupture par séparation de la poutre en deux morceaux. Ce mode de rupture est souvent appelé rupture par “traction diagonale” ; pour un tel mode de rupture, la charge ultime est sensiblement la même que la charge nécessaire pour faire apparaître la fissure diagonale. (b) Si av /d est relativement faible (≈ 2,5), la propagation de la fissure tend à s’arrêter quelque part près du point j; un certain nombre de fissures peuvent se développer dans le béton autour de l’armature longitudinale. Lorsque l’effort V augmente encore, la fissure diagonale s’ouvre et se propage horizontalement au niveau de l’armature longitudinale (fissure g-h). En augmentant, l’effort de cisaillement provoque la destruction d’adhérence entre le béton et l’armature longitudinale, menant généralement au fendage du béton le long de la ligne g-h. À nouveau, la charge ultime n’est pas fort différente que la charge qui produit la fissure diagonale.
  17. 17. Chapitre 9: Effort tranchant 9 3. 1 < av/d < 2.5: Pour des rapports av/d inférieurs à environ 2,5 mais supérieur à 1, la fissure diagonale se forme souvent indépendamment et non comme l’extension d’une fissure de flexion. 4. av/d < 1: Pour des si faibles rapports av/d, la fissure diagonale forme approximativement une ligne droite entre l’appui et le point d’application de la charge. La poutre reste stable après l’apparition d’une telle fissure. Une augmentation de la charge V provoque la pénétration de la fissure diagonale dans la zone de compression du béton près du point d’application de la charge, jusqu’à ce que se produise la rupture par écrasement du béton. Ce mode de rupture est habituellement appelé rupture par “compression cisaillement” . Pour ce mode de rupture, la charge ultime sera parfois plus du double de la charge provoquant la fissure diagonale. Cette fissure s’initie habituellement à hauteur d'environ un tiers de la hauteur d. Lorsque la charge augmente, la fissure diagonale se propage simultanément vers le point de chargement et vers l’appui. Lorsque celle-ci a pénétré suffisamment en profondeur la zone de compression près du point d’application de la charge ou, plus fréquemment au droit de l’appui, la rupture par écrasement du béton se produit. Pour ce mode de rupture du type “poutre cloison”, la charge ultime vaut généralement plusieurs fois la charge pour laquelle apparaît la fissure diagonale.
  18. 18. Chapitre 9: Effort tranchant 10 9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant Considérons un morceau de poutre entre deux fissures de flexion. Dans la section de la fissure, l’effort tranchant est repris par trois forces : • les contraintes de cisaillement dans le béton comprimé (non fissuré) au-dessus de la fissure, • le transfert de forces de cisaillement entre les faces de la fissure, • l’effet de goujon dû à l’armature principale de flexion (dowel action). Le mécanisme exact de l’apparition de fissures d’effort tranchant n’est pas connu avec précision mais on sait qu’il est gouverné essentiellement par la combinaison de ces trois forces.
  19. 19. Chapitre 9: Effort tranchant 11 • Si la présence de la fissure ne provoque aucune perte de raideur au cisaillement, la distribution des contraintes aura la forme parabole-rectangle et la fissuration d’effort tranchant apparaîtrait quand la résistance à la traction du béton serait atteinte. La réalité se situe entre ces deux extrêmes. • Si aucun effort de cisaillement n’est transmis à travers la fissure, la “dent” de béton comprise entre deux fissures de flexion, devrait se comporter comme une “console”, fixée dans la zone supérieure comprimée et sollicitée dans sa partie inférieure par les forces d’adhérence de l’armature principale comme le montre la figure ci-contre. Dans ce cas la résistance du système reposerait sur la résistance à la flexion de cette “console”. Les nombreux essais, qui ont été réalisés sur des poutres, en forme de I et de Té, montrent que les facteurs principaux qui conditionnent la résistance à la fissuration d’effort tranchant sont : • les dimensions de la section (la hauteur effective d, et la largeur de l’âme bw), • les propriétés du béton (la résistance), • le pourcentage d’armature longitudinale l = Asl / (bw.d) exprimé par rapport aux dimensions de l’âme, • le rapport M / (V.d)
  20. 20. Chapitre 9: Effort tranchant 12 9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré Le calcul en phase élastique non fissurée reste toutefois indispensable lorsqu’il s’agit d’éviter la formation de fissures obliques dans l’âme (dites fissures d’effort tranchant) comme, par exemple, pour les grands ponts précontraints. Des fissures se forment lorsque les contraintes principales de traction atteignent la résistance du béton à la traction (σI,max > fct). Pour déterminer les contraintes principales, il faut connaître les contraintes tangentielles . Conformément à la théorie générale de l’élasticité, la contrainte de cisaillement y au niveau y de la section droite est calculée par la formule: ( ) ( )y V S y I b y   • V est l’effort tranchant de la section considérée • S(y) est le moment statique par rapport au centre de gravité yG, de la partie de section située au-dessus du niveau y: • I est l’inertie de la section • b(y) est la largeur de la section au niveau y Note: cette formule n’est valable que pour des poutres à inertie constante  ( ) . ( ) h Gy S y y y b x dx 
  21. 21. Chapitre 9: Effort tranchant 13 Les contraintes principales peuvent être déterminées grâce à la relation: L’angle  entre la direction de σII et l’axe de la poutre vaut : 2 2 , 2 2 x y x y I II xy                  2 tan(2 ) xy x y       Contraintes principales dans une poutre fléchie à l’état non fissuré
  22. 22. Chapitre 9: Effort tranchant 14 • En pratique, le calcul des contraintes principales s’avère nécessaire lorsque l’on veut éviter la formation de fissures inclinées. Cette condition de non fissuration se présente souvent pour les structures en béton précontraint. • Les sections sont donc sollicitées par de la flexion composée (effort normal = force de précontrainte) combinée à un effort tranchant V . La répartition des contraintes dans ce cas est présentée à la figure ci- dessous • On constate que même dans la zone comprimée (en flexion), il subsiste toujours des contraintes des traction σI dues à l’effort tranchant V . Si l’on veut supprimer toute traction, il faut prévoir une précontrainte verticale (ou oblique) produisant des contraintes σy de compression (précontrainte transversale). Remarque: Il convient de noter que les expressions précédentes, basées sur la théorie des poutres, ne s’appliquent pas dans les zones d’introduction de grandes forces telles que les réactions d’appui ou les forces de précontrainte (théorème de Saint-Venant).
  23. 23. Chapitre 9: Effort tranchant 15 9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU (état fissuré) L’EC2 distingue les éléments sans armature d’effort tranchant (principalement les dalles) et les éléments avec armatures d’effort tranchant (les poutres). Au niveau des notations, l’EC2 introduit: • VEd effort tranchant résultant des combinaisons des charges à l’ELU; • VRd,c effort tranchant résistant du béton en l’absence d’armatures d’effort tranchant; • VRd,s effort tranchant résistance repris par les armatures d’effort tranchant; • VRd,max effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté par la poutre sans provoquer l’écrasement des bielles de compression du béton; Dans le cas d’éléments de hauteur variable, il définit les valeurs ci-après: • Vccd la valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de la force de compression, dans le cas d’une membrure comprimée inclinée; • Vtc la valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de la force dans l’armature tendue, dans le cas d’une membrure tendue inclinée; • VRd effort tranchant résistance d’un élément comportant des armatures d’effort tranchant: En terme de résistance, la présence d’armature d’effort tranchant n’est pas nécessaire si VEd ≤ VRd,c. Dans le cas contraire, il faut réaliser le dimensionnement et la disposition des cadres pour les poutres de telle sorte que VEd ≤ VRd
  24. 24. Chapitre 9: Effort tranchant 16 9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch Le fonctionnement d’une poutre en BA après la fissuration oblique peut être modélisé comme celui d’une poutre à treillis plan multiple avec bielles et tirants (treillis de Ritter-Mörsh) dans laquelle: • La membrure tendue est constituée par les armatures longitudinales tendues (tirants); • La membrure comprimée est constituée par la zone comprimée de la poutre (béton + armatures éventuelles); • La hauteur est égale au bras de levier des forces internes 𝑧, pris égal à 𝑧 = 0,9𝑑 pour des éléments en béton armé fissurés; • Les diagonales comprimées sont les bielles de béton découpées par les fissures obliques d’inclinaison 𝜃 sur la ligne moyenne de la poutre; • Les diagonales tendues sont les cadres:  Inclinés d’un angle 𝛼 sur la ligne moyenne;  section Asw par nappe;  espacement s mesuré parallèlement à la ligne moyenne. z cadre bielle Armature longitudinale   cotz  cotz  Treillis avec bielles et armatures inclinées d A B C A B C bielle cadre Fissures obliques Treillis multiples de Ritter-Mörsch swA s
  25. 25. Chapitre 9: Effort tranchant 17 Différents modèle de treillis multiples • Chaque cadre du modèle représente un certain nombre de cadres réels. Le treillis (a) est isostatique, tandis que le treillis (b), qui peut sembler plus réaliste, est hyperstatique. • Le treillis (c) est un modèle plus raffiné pour représenter ce qui se passe dans la région située près de l’appui. Ce modèle donne les mêmes résultantes de forces dans l’âme que le modèle original (a). • L’angle θ que forment les bielles inclinées avec l’axe de la poutre n’est pas fixé à priori, puisque même si des fissures ayant une autre inclinaison sont présentes, des efforts de cisaillement peuvent être transmis à travers elles.  s z sF cF Compression (bielle) Traction (tirant) EdV sF cF EdV sF cF EdV ( )a ( )b ( )c
  26. 26. Chapitre 9: Effort tranchant 18 9.4.1 Équation pour VRd,s : Résistance des armatures d’effort tranchant • Considérons les treillis multiples de Ritter-Mörsch d’une poutre dont les armatures d’effort tranchant sont espacées régulièrement de 𝑠. • Dans un treillis quelconque, il y a 𝑛 armatures transversales. 𝑛 représente le nombre de treillis multiples superposés et participant à la résistance du treillis étudié (en gris) sur la distance 𝑧 cot𝜃 + cot𝛼 . Donc 𝑛 est déterminé par: (cot cot ) 0.9 (cot cot )z d n s s        Équilibre vertical des forces dans la section A-A: Par définition 𝑉 𝐸𝑑 = 𝑉 𝑅𝑑, 𝑠 lorsque 𝜎sw = 𝑓𝑦𝑑  d’où l’expression de (6.13) de l’EC2 sw Ed sw sw sw swsin sin (cot cot )sin A V F n A z s           sw Rd,s yd(cot cot )sin A V z f s     EdM EdV EdN s  A A EdM EdV EdN  A A sw cdF (cot cot )z   z swF tdF
  27. 27. Chapitre 9: Effort tranchant 19 9.4.2 Équation pour VRd,max : Résistance des bielles de compression du béton Équilibre vertical des forces dans la section B-B: La résistance des bielles est atteint lorsque  d’où l’expression (6.14) de l’EC2 EdM EdV EdN s  B B z EdM EdV EdN B B cw cwF sin( ) sin z     cdF tdF Ed cw w cw w cw 2 sin( ) cot cot sin sin sin 1 cot z V F b b z                 cw Rd,c cw cdf           Rd,max cw 1 cd w 2 cot cot 1+cot V f b z (dite contrainte résistante des bielles)         1 ck 1 ck ck 0.6 pour f 60MPa 0.9 f / 200 0.5 pour f 60MPa 𝜐1 est le facteur de réduction de la résistance du béton fissuré à l’effort tranchant. où α𝑐𝑤 est un coefficient tenant compte de l'état de contrainte dans la membrure comprimée (voir formule 6.11 de l’EC2-1-1).
  28. 28. Chapitre 9: Effort tranchant 20 9.4.3 Règle du décalage de moment "Par suite de la fissuration oblique, l’effort de traction supporté par une armature tendue dans une section (A) d’abscisse 𝑥 correspond au moment dans une section (B) d’abscisse 𝑥 + 𝑎 " • Treillis simple: • Treillis multiple de Ritter-Mörsch: L’effort de traction au point A de la membrure tendue est égal à la somme des efforts de traction élémentaires de tous les treillis simples compris entre les treillis élémentaires B1C1A et B2AD2 : … td td ( ) ( ) ( ) A B MM x a M x M M x a z F F z z z         2 1 td B B B B B M F n z     td ( ) ( ) ( ) 0.5(cot cot ) ( ) M x a F V x z z M x V x z        Conclusion: En un point de moment nul (M=0), l’effort de traction 𝐹 𝑠 n’est pas nul mais égal à 𝑎 𝑧 𝑉(𝑥) B A D D2 B2B1 C1 C cotz cotz  (cot cot )/ 2z     AV AM x x a z   (S) tdF cwF x x a B A DC
  29. 29. Chapitre 9: Effort tranchant 21 Décalage de moment selon l’EC2 On distingue deux cas : • L’élément ne comporte pas d’armatures d’effort tranchant (dalle), on décale la courbe des moments de 𝑎 = 𝑑 • L’élément comporte des cadres d’effort tranchant, on décale la courbe des moments de EC2-1-1§6.2.3(7) 𝑎 = 0,5 𝑧 cot𝜃 = 0,45 𝑑 cot𝜃
  30. 30. Chapitre 9: Effort tranchant 22 9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis Cas des charges réparties Conclusion: Pour des éléments soumis principalement à des charges réparties, la détermination des armatures d’effort tranchant près des appuis est effectuée avec la valeur de l’effort tranchant à la distance max(𝑑; 𝑙) du nu d’appui : Remarques: • Les armatures d’effort tranchant doivent être disposées à partir du nu d’appui • La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe des charges aux appuis. EC2 §6.2.1 EC2 §6.2.3 max Ed,cal max( ; )EdV V p d l  Ed Rd,maxV V
  31. 31. Chapitre 9: Effort tranchant 23 Cas des charges concentrées la valeur de l’effort tranchant développé par ces charges est minorée par Remarques: • Il revient au même de prendre pour valeur de ces charges concentrées: • La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe des charges aux appuis. uPPour les charges concentrées au voisinage des appuis vérifiant les conditions suivantes : • la distance de leur point d’application au nu d’appui vérifie: • les charges sont appliquées à la face supérieure de l’élément; • les armatures longitudinales sont totalement ancrées au-delà du nu d’appui; 0.5 2vd a d  1 max( ; ) 2 4 va d  
  32. 32. Chapitre 9: Effort tranchant 24 9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant (EC2-1-1 §6.2.2) Dans les zones de l’élément où VEd ≤ VRd,c aucune armature d’effort tranchant est requise par le calcul; 9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence VRd,c • Lorsque la section est fissurée en flexion, l’effort tranchant de référence est donné VRd,c par la formule (6.2) de l’EC2  fck est exprimé en MPa  d et bw sont la hauteur utile de la section et la largeur de l’âme.  1/3 Rd,c Rd,c ck 1 cp w min 1 cp w(100 ) vlV C k f k b d k b d                       Rd,c 3 min 1 0,18 avec v 0,035 et 0,15 c ck C k f k
  33. 33. Chapitre 9: Effort tranchant 25  k est un coefficient tenant compte de l’effet d’échelle  𝜎cp est la contrainte de compression du béton au niveau du centre de gravité sous l’effet de l’effort normal NEd ( > 0 pour la compression) 200 1 2 (d en mm)k d    0,2 (en MPa)Ed cp c N A     𝜌𝑙 est le ratio d’armature longitudinale tendue prolongée sur une longueur ≥ (lbd + d) au-delà de la section considérée. Section considérée w 0,02sl l A b d   
  34. 34. Chapitre 9: Effort tranchant 26 En introduisant la valeur de CRd,c, vmin et k1 dans l’expression précédente, on peut définir la contrainte de cisaillement 𝜏Rd,c Rd,c 1/3 3 Rd,c ck cp cp w 0,18 (100 ) 0,15 0,035 0,15l ck c V k f k f b d               0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Rd,c (MPa) (%)l ≤ 200 d (mm) 250 300 350 400 500 600 800 1000 béton C30 1,5 0 c cp    
  35. 35. Chapitre 9: Effort tranchant 27 9.5.2 Vérifications Nécessité de prévoir des armatures d’effort tranchant • Il n’y a pas lieu de prévoir des armatures d’effort tranchant si: Vérification de la compression des bielles • Valeur 𝑉Rd,max de dans le cas des armatures d’effort tranchant inclinées: • Pour le cas sans armatures d’effort tranchant, le résistance des bielles de compression est la valeur minimale de 𝑉Rd,max obtenue pour 𝛼 = 90° Ed Rd,maxV V Ed Ed Rd,c Ed Rd,cou w V V V b d          Ed Rd,max cw 1 cd w 2 cot 1+cot V V f b z EC2 §6.2.2       Rd,max cw 1 cd w 2 cot cot 1+cot V f b z
  36. 36. Chapitre 9: Effort tranchant 28 Remarques sur l’application des articles §6.2.1(6) et §6.2.2(6) de l’EC2 dans le cas des éléments sans armatures d’effort tranchant: Cas de section à hauteur constante Vccd=Vtd=0 EC2 §6.2.2 EC2 §6.2.1 Remarque: Cette condition est satisfaite si §6.2.1 est respecté      Ed Rd,max cw 1 cd w 2 cot 1+cot V V f b z
  37. 37. Chapitre 9: Effort tranchant 29 9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales (EC2-1-1 §6.2.1(4) et §9.2.2) • Même lorsque aucune armature d’effort tranchant est requise, il convient de prévoir un ferraillage transversal minimal Asw,min. Le taux d’armatures d’effort tranchant minimales est donné par:  Asw : l’aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s  s : l’espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément  𝛼 : l’angle entre les armatures d’effort tranchant et l'axe longitudinal Taux minimal d'armature d'effort tranchant ρw,min [%] cksw w,min w ykmin 0,081 sin fA s b f            C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C70 C80 C90 0.055 0.064 0.072 0.080 0.088 0.095 0.101 0.107 0.113 0.119 0.124 0.134 0.143 0.152 • Ce ferraillage peut être omis dans les éléments qui ont une capacité suffisante de distribution transversale des charges tels que les dalles (pleines, nervurées, alvéolées); • Le ferraillage minimal peut également être omis dans les éléments secondaires (linteaux de portée ≤ 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.
  38. 38. Chapitre 9: Effort tranchant 30 On remarque que, dans le cas d’élément en béton armé (𝜎𝑐𝑝 = 0), la résistance produite par l’armature d’effort tranchant minimale couvre quasiment la résistance 𝜏Rd,c dans tous les cas. cot 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Rd(MPa) (%)l ≤ 200 d (mm) 250 300 350 400 500 600 800 1000 o béton C30; 1,5 ; 0 ; 500MPa ; / 0,9 ; cot 0; 90c cp ykf z d         Rd w,min cotyd z f d    Rd,c
  39. 39. Chapitre 9: Effort tranchant 31 9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant Principe: Dans les zones de l’élément où VEd > VRd,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant telle sorte que: 9.5.1 Cas général des armatures inclinées • La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations : • Si l’on définit le pourcentage géométrique d’armatures d’effort tranchant : • L’angle θ pour lequel VRd = VRd,max = VRd,s vaut : • Relation entre la résistance réduite à l’effort tranchant et le pourcentage géométrique d’armatures d’effort tranchant Ed Rd Rd,s Rd,maxmin( ; )V V V V                  Ed Rd,max cw 1 cd w 2 sw Ed Rd,s yd cot cot 1+cot cot cot sin V V f b z A V V z f s sw w w sin A b s          cw 1 cd 2 w yd cot 1 sin f f                       2 w ydRd cw 1 cd 2 cw 1 cd w cw 1 cd w yd sin 1 cot . . sin fV f f b z f f  Résistance des bielles  Résistance des tirants
  40. 40. Chapitre 9: Effort tranchant 32 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.11.1 45   60   75   90   Armatures droites  Rd 1 cd w. . V f b z   w yd 1 cd f f • L’avantage principal de l’utilisation d’armatures d’effort tranchant inclinées est de pouvoir réduire la contrainte dans les bielles comprimées et permettre ainsi de reprendre un effort tranchant plus important pour des dimensions d’âme (bw et d) fixées. • Un autre avantage d’armatures d’effort tranchant inclinées provient de la réduction de l’effort complémentaire apporté dans le tirant inférieur par rapport à des étriers verticaux. td Ed0.5(cot cot )F V    Ed w cw 2 cot cot 1 cot V b z        Note: En pratique, les armatures transversales droites sont beaucoup plus simple à mettre en place sur le chantier et surtout qu’elles évitent une inversion de la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles sont presque toujours privilégiées par rapport à des armatures inclinées.
  41. 41. Chapitre 9: Effort tranchant 33 9.5.2 Cas particulier des armatures droites 𝛼 = 90° • La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations : • Si l’on choisit l’angle θ de sorte que ces deux résistances soient égales on obtient les relations :          Ed Rd,max cw 1 cd w 2 sw Ed Rd,s yd cot 1+cot cot V V f b z A V V z f s                 w ydRd cw 1 cd cw 1 cd w cw 1 cd w cw 1 cd yd y w d 1 cot 1 fV f f b z f f f f où w est le pourcentage d’armatures transversale sw w w A b s   Effort tranchant résistant en fonction du pourcentage d’armatures transversales (cadres verticaux)    w yd cw 1 cd f f   Rd cw 1 cd w V f b z 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 cot 2.5  2.5 cot 1  cot 1  cot 1  
  42. 42. Chapitre 9: Effort tranchant 34 9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites (𝛼 = 90°) • On est totalement libre du choix de l’angle  en respectant la condition 1 ≤ cot  ≤ 2,5 • La valeur de  doit être choisie pour minimiser la quantité totale d’armatures (longitudinales et d’effort tranchant) • Si les barres longitudinales ne sont pas arrêtées, on peut choisir  de manière à vérifier que l’effort tranchant maximal pris en compte dans les calculs est au plus égal à VRd,max • Dans le cas général, on peut dimensionner les armatures d’effort tranchant de telle sorte que Remarque: Pour tenir compte du phénomène de transmission directe dans les cas des charges au voisinage de l’appui ou de charge uniformément répartie, on prendrait la valeur de calcul de l’effort tranchant à la place de (dans la deuxième équation) pour le calcul des armatures près des appuis          Ed Rd,max cw 1 cd w 2 sw Ed Rd,s yd cot 1+cot cot V V f b z A V V z f s Ed,calV EdV
  43. 43. Chapitre 9: Effort tranchant 35 1. Détermination de l’angle 𝜃 des bielles • Si avec • Si • Si  cot𝜃 est déterminé en résolvant la première équation 2 c,Rd w c,Rd w Ed Ed cot 1 2 2 1 2.5 b z b z V V               Ed c,Rd w 2 2.5 1 2.5 V b z    c,Rd cw 1 cdf désignant la contrainte résistante des bielles Ed Rd,max 1 cot 2.5V V       on choisit cot  = 2,5 afin de réduire la quantité d’armatures nécessaire Ed c,Rd w 2 1 1 1 V b z  Ed Rd,max 1 cot 2.5V V       la résistance de bielles n’est pas suffisante  utiliser un béton de classe supérieure ou augmenter les dimensions de la section. c,Rd w Ed c,Rd w2 2 2.5 1 1 2.5 1 1 b z V b z    
  44. 44. Chapitre 9: Effort tranchant 36 2. Une fois cot déterminé, on le reporte dans la deuxième équation, On obtient: 3. Choisir la section Asw d’une nappe d’armatures d’effort tranchant, en déduire l’espacement de ces armatures, vérifier que les conditions relatives à l’espacement (§9.2.2(5) et (6)) sont bien remplies et que le pourcentage minimal (§9.2.2(4)) est bien respecté. Ed Ed,calsw yd (ou ) cot V VA s f z   Remarque: Il est à noter que le décalage de la courbe de moment servant pour le calcul des armatures longitudinales doit être fait avec la valeur de θ choisie pour le calcul (ou la vérification) des armatures transversales.
  45. 45. Chapitre 9: Effort tranchant 37 9.7 Éléments de hauteur variable • Les forces internes dues à l’action du moment fléchissant développent une composante verticale Vccd + Vtd qui compense une part de l’effort tranchant de calcul VEd • La résistance à l’effort tranchant d’un élément comportant des armatures d’effort tranchant est donnée par Rd Rd,s ccd ctV V V V   • VRd,s effort tranchant résistante repris par les armatures d’effort tranchant • Vccd composante parallèle à la force de compression dans la zone comprimée • Vtd composante parallèle à la force de traction dans les armatures tendues Toutes les formules développées pour éléments de hauteur constante peuvent s’appliquer en remplaçant VEd par VEd-(Vccd+Vtd)
  46. 46. Chapitre 9: Effort tranchant 38 Cadres, épingles et étriers intérieurs Cadre extérieur 9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant (EC2-1-1 §9.2.2) Les armatures d’effort tranchant doivent former un angle de 90° à 45° avec la ligne moyenne de l’élément considéré. a. Elles peuvent être composées d’une combinaison de: • Cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée; • Barres relevées; • Cadres ouvertes, échelles, épingles, etc. sans entourer les armatures longitudinales mais correctement ancrés dans les zones comprimée et tendue. b. Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical situé près de la surface de l’âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la torsion. c. Au moins 50% des armatures d’effort tranchant nécessaires doivent être prévues sous forme de cadres, étriers ou épingles.
  47. 47. Chapitre 9: Effort tranchant 39 Cadres, épingles et étriers intérieurs Cadre extérieur d. La quantité d’armatures d’effort tranchant doit être au moins égal à: e. L’espacement longitudinal maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant doit être au plus égal à 𝑠𝑙,max: f. L’espacement longitudinal maximal entre les barres relevées doit être au plus égal à: g. Dans le sens transversal (l’épaisseur de l’âme), l’espacement des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant doit être au plus égal à: ,max 0,75. (1 cot )ls s d    ,max 0,6. (1 cot )r bs s d    ,max 0,75. 600 mmt ts s d   cksw w,min w w ykmin 0,08 sin sin fA b b s f            barre relevée
  48. 48. Chapitre 9: Effort tranchant 40 • L’effort tranchant de calcul des aciers à proximité du nu d’appui • L’effort tranchant de calcul des aciers « tous les )𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 plus loin » 9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant 9.9.1 Principe du calcul des répartitions 9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant A. Cas des charges réparties Soit une poutre non soumise à une charge concentrée à proximité du nu de l’appui. Si la poutre de section 𝑏 𝑤ℎ et de hauteur utile 𝑑 est soumise principalement à des charges réparties, la vérification à l’effort tranchant se fait à une distance 𝑑 de l’appui. Les armatures d’effort tranchant requises sont alors maintenues jusqu’au droit de l’appui (EC2-1-1 §6.2.1(8)). nu Ed,cal Ed avec max ; (cot cot )u r rV V p l l d z          Ed,cal Edmin (sur (cot cot ))V V z    EC2 §6.2.3 L d Charges transmises directement Charges transmises directement Chargement de calcul d
  49. 49. Chapitre 9: Effort tranchant 41 red EdV Ed,calV 2.25d 2.25d 0 d 2.25d Edcourbe d'effort tranchant V Diagramme de calcul avec charges uniformes et bielles à 21°8 0 d 1.9d Diagramme de calcul avec charges uniformes et bielles à 45° 0.9z d z z z Ed,calcourbe de calcul V 1.35 1.5up g q  red EdVnu EdV nu EdV On calcule l’espacement 𝑠0 des aciers à la distance 𝑙 𝑟 du nu d’appui, et on conserve jusqu’à l’appui, puis l’espacement 𝑠 des aciers « tous les )𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 », qu’on conserve constant sur chaque escalier. Pour ce faire, on choisit Asw et on applique:   Ed,calsw 0 yd (ou ) cot cot sin VA s s f z     
  50. 50. Chapitre 9: Effort tranchant 42 Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant Données: • Caractéristiques mécaniques: béton C30, acier B500A • Chargements appliqués: Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements? 38.25kN/m 30kN/m G Q   u ck cd c yk yd s 1.35 1.5 96.64 kN/m 30 20MPa 1.5 500 435MPa 1.15 p G Q f f f f            cw ck c,Rd cw cd flexion simple 1 0.6(1 ) 0.528 250 10.56 MPa f f             w 10 m 10,4 m 400mm 0.9 720mm 0.9 648 mm nu eff L L b d h z d        Calcul préliminaire: 9.6m 0.8 m 0.4 m 0.4 m up 0.4 m4HA20
  51. 51. Chapitre 9: Effort tranchant 43 Tracer le diagramme de l’effort tranchant Les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires? (EC2-1-1 §6.2.2) VEd ≥ VRd,c donc les armatures d’effort tranchant sont nécessaires. Choisir l’angle  des bielles Afin d’optimiser les armatures d’effort tranchant on choisit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 Abscisse [m] Efforttranchant[kN] X: 8.18 Y: 307.3 X: 1.82 Y: -307.3 Effort tranchant théorique Diagramme de calcul Rd,c 104.2V  Rd,s,min 246.9V  Quantité minimale à placer Ed Rd,c w 2 2.5 943.8 kN 1+2.5 x V b z    La résistance des bielles est surabondante cot 2.5  Ed Rd,max( )V x V  
  52. 52. Chapitre 9: Effort tranchant 44 Calculer la quantité nécessaire des armatures d’effort tranchant • On constate qu’en dehors de la zone à proximité des appuis l’effort tranchant résistant calculé avec la quantité minimale est plus grand que l’effort tranchant de calcul. Il suffit d’y mettre une quantité minimale imposée par l’EC2. • On a donc à calculer seulement la quantité nécessaire pour la zone à proximité des appuis: nu nu Ed,cal Ed Ed cot 307.3 kNu r uV V p l V q z      3 Ed,cal 2sw 0 yd 307.3 10 0.436mm /mm cot 435 900 2.5 VA s f z        2sw 0 0 soit un cadre HA8 avec un espacement s =22 cm 0.457 mm /mm A s   Remarque: conformément à la clause 6.2.1(8) de l’EC2 1-1, les cadres doivent être sont maintenus jusqu’au droit de l’appui. cksw w ykmin 0,08 0.35 fA b s f         2sw soit un cadre HA8 avec un espacement s=28 cm 0.359mm /mm A s  
  53. 53. Chapitre 9: Effort tranchant 45 Vérifier les conditions d’espacement (clause 9.2.2(6)) ,max ,max0,75 75 cm sl ls d s ok     Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
  54. 54. Chapitre 9: Effort tranchant 46 B. Cas des charges ponctuelles et réparties Calcul de l’effort tranchant VEd,cal à l’about Selon la disposition de la charge ponctuelle près de l’appuis, on distingue les deux cas suivants: • Si elle est placée au-delà de 2d, cette charge intervient en totalité dans le calcul. • Si elle est appliquée sur la face supérieure de la poutre à une distance av<2.d du nu de l’appui  la zone d’about est discontinue. nu Ed,cal Ed ( ) avec max ; 0.9 (cot cot ) u u u r r p P V V p l l d d           up uP va nu nu nu nu Ed,cal Ed Ed ( ) ( ) Ed,cal Ed Ed ( ) ( ) : prédominance des charges réparties : sinon u u u u u p P p P V V p d V V V V        1 avec max( ; ) 2 4 va d   Remarque: il convient d’appliquer la réduction par 𝛽 pour le seul calcul des armatures d’effort tranchant. La vérification de la bielle est faite avec la valeur non réduite de VEd. De plus toutes les armatures longitudinales doivent être ancrées à l’about. les cadres doivent être sont maintenus jusqu’au droit de l’appui. Il convient de vérifier que la part d’armatures centrées sur 0,75av coud bien la part de Pu transférée sur l’appui
  55. 55. Chapitre 9: Effort tranchant 47 Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant dans le cas de charge ponctuelle à l’about Données: • Caractéristiques dimensionnelles: • Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500A • Chargements appliqués: Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements? 5m ; 200mm ; 500mm; 450mmwL b h d    50kN/m ; P 150kN appliqué à 500 mm du nu de l'appuiu up   ck cd c yk yd s 35 23.33MPa 1.5 500 435MPa 1.15 0.9 405mm f f f f z d           cw c,Rd cw cd flexion simple 1 0.6(1 ) 0.516 250 12 MPa ckf f             50kN/mup  150kNuP  0.5 5m EdV (kN) 260 231 81 15 200 171 87.7 Ed,calV En présence d’une charge ponctuelle, il faut délimiter les zones de discontinuité. Comme la charge est située à une distance av égale à 0,5m <2.d, cette zone d’about est considérée comme discontinue. nu nu nu nu nu Ed Ed Ed ( ) ( ) Ed,cal Ed Ed ( ) ( ) 260kN 200kN u u u u p P p P V V V V V V      
  56. 56. Chapitre 9: Effort tranchant 48 Choisir l’angle de la bielle d’about Déterminer la section des cadres • La bielle d’about de 21,8° intéresse la poutre sur 𝑧 cot𝜃 = 1m > 0,5m où est appliquée la charge ponctuelle. Il faut donc vérifier que la part d’armatures centrées sur 0,75av = 375 mm coud bien la part de Pu transférée sur l’appui (EC2-1-1 §6.2.3(8)) • Il faut que l’effort tranchant de calcul soit inférieur ou égal à la résistance des armatures d’effort tranchant  ok Conclusion: pour la zone d’about il faut prévoir 9 cadres HA8 espacés de 11 cm sur 1m. nu Ed Rd,c w 2 2.5 260kN 336.2kN 1+2.5 V b z   2sw 0 0 soit un cadre HA8 avec un espacement s =11 cm 0.914 mm /mm A s   nu 2sw yd sw yd sw Ed 0.75 0 0 ( ) 0.75 0.826mm /mm v u v a P a A f A f A V s s     sw Ed,cal Rd,s yd 0 200kN cot 402.6 kN A V V f z s     cot 1z m  0.75 va va 11 Ed Rd,max( )V x V    La résistance des bielles est surabondante
  57. 57. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 2 10.1 Généralités 10.2 Limitation des contraintes 10.2.1 Dispositions au niveau béton 10.2.2 Dispositions au niveau acier 10.3 Limitation des flèches 10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS 10.4.1 Module effectif du béton 10.4.2 Coefficient d’équivalence αe 10.5 Maîtrise de la fissuration 10.5.1 Considérations générales 10.5.2 Notion d’ouverture de fissures 10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct 10.6 Calcul des contraintes à l’ELS 10.6.1 Hypothèses 10.6.2 Notations 10.6.3 Section rectangulaire non fissurée 10.6.4 Section en T non fissurée 10.6.5 Moment de fissuration Mcr 10.6.6 Section rectangulaire fissurée 10.6.7 Section en T fissurée 10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS 10.7.1 Section rectangulaire 10.7.2 Section en T 10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures à l’ELS 10.7.4 Exemple d’application 10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS 10.8.1 Vérification des contraintes 10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul 10.8.3 Vérification des flèches par le calcul 10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par le calcul direct 10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature 10.8.6 Exemple d’application
  58. 58. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 3 10.1 Généralités  Les éléments de structure en béton armé, soumis à un moment de flexion simple sont généralement dimensionnés à l’ELS dans les cas suivants: • Fissuration préjudiciable. • Fissuration très préjudiciable.  Les vérifications à effectuer concernant l’ELS vis à vis de la durabilité de la structure conduit à s’assurer du non-dépassement des contraintes limites de calcul à l’ELS : • Compression du béton • Traction des aciers suivant le cas de fissuration envisagé (état limite d’ouverture des fissures) Nous abordons dans ce chapitre les points suivants:  Dimensionnement à l’ELS  Vérification à l’ELS  Limiter l’ouverture des fissures pour ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure  Tenir compte de la fissuration, du fluage et du retrait  Assurer une section minimale d’armature  Limiter la flèche structurale
  59. 59. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 4 10.2 Limitation des contraintes (EC2-1-1 §7.2) 10.2.1 Dispositions au niveau béton • La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales, les micro- fissures ou encore des niveaux élevés de fluage, lorsque ceux-ci pourraient avoir des effets inacceptables pour le fonctionnement de la structure. • L’EC2 rappelle que, en l’absence de dispositions complémentaires, des fissures longitudinales peuvent apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique de charges excède une valeur critique. Il propose de limiter la compression à 0,6fck pour les zones soumises aux classes d’exposition XD, XF et XS. • Sous la combinaison quasi-permanente des charges:  le fluage linéaire si σc ≤ 0,45fck ,  le fluage non linéaire si σc > 0,45fck 10.2.2 Dispositions au niveau acier • Les contraintes de traction dans les armatures doivent être limitées afin d'éviter les déformations inélastiques ainsi qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable. • Nous pouvons considérer qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable est évité si, sous la combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans les armatures n'excède pas 0,8fyk. Lorsque la contrainte est provoquée par une déformation imposée, il convient de limiter la contrainte de traction à fyk.
  60. 60. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 5 10.3 Limitation des flèches (EC2-1-1 §7.4) EC2-1-1§7.4.1: • La déformation d'un élément ou d'une structure ne doit pas être préjudiciable à leur bon fonctionnement ou à leur aspect. • Il convient de fixer des valeurs limites appropriées des flèches, en tenant compte de la nature de l’ouvrage, des finitions, des cloisons et accessoires, et de sa destination. • Il convient de limiter les déformations aux valeurs compatibles avec les déformations des autres éléments liés à la structure tels que cloisons, vitrages, bardages, réseaux ou finitions. Dans certains cas, une limitation des déformations peut être nécessaire afin d'assurer le bon fonctionnement de machines ou d'appareils supportés par la structure, ou pour éviter la formation de flaques sur les toitures-terrasses. • L'aspect et la fonctionnalité générale de la structure sont susceptibles d'être altérés lorsque la flèche calculée d'une poutre, d'une dalle ou d'une console soumises à des charges quasi-permanentes est supérieure à L/250 où L représente la portée. La flèche est évaluée par rapport aux appuis à proximité. Une contre-flèche peut être prévue pour compenser en partie ou en totalité la déformation ; toutefois, il convient de ne pas dépasser généralement une limite supérieure de L/250. • Il convient de limiter les déformations susceptibles d'endommager les éléments de la structure avoisinants l'élément considéré. Pour la déformation après construction, L/500 représente normalement une limite adéquate pour les charges quasi-permanentes. D'autres limites peuvent être envisagées, en fonction de la sensibilité de ces éléments avoisinants.
  61. 61. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 6 10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS 10.4.1 Module effectif du béton EC2-1-1§7.4.3(5) Remarques sur la clause 7.4.3(5) de l’EC2: • 𝜑 ∞, 𝑡0 représente le fluage final à long terme du béton donc sous des charges permanentes • Le texte qui accompagne la définition de 𝜑 ∞, 𝑡0 précise bien qu’il s’agit d’un coefficient de fluage qui tient compte du chargement dans un intervalle de temps considérés [t0, t]. Il faut donc comprendre qu’il est question ici de 𝜑 𝑡, 𝑡0 puisque ce dernier permet de tenir compte non seulement des charges à long terme (t= ∞) mais aussi à plus au moins court terme (comme les charges d’exploitation). 𝜑 𝑡, 𝑡0 doit donc être utilisé avec la combinaison caractéristique de charges. • Les clauses 7.2 et 7.3 des ‘‘Recommandations professionnelles pour l'application de la norme NF EN 1992-1- 1 (NF P 18-711-1) et de son annexe nationale (NF P 18-711-1/NA-Eurocode 2, partie 1-1) relatives au calcul des structures en béton’’ stipulent que: Eqp , 0 Ed,ELS avec ( , ) 1 cm c eff ef ef ME E t M       
  62. 62. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 7 10.4.2 Coefficient d’équivalence αe • En BA les sections sont pratiquement homogénéisées en assimilant la section d’acier à une section équivalente de béton  travailler avec un seul matériau • Il nécessite d’exprimer un coefficient d’équivalence entre l’acier et le béton: • Pour de charges essentiellement permanentes (tenant compte du fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 ): • Pour de charges de plus ou moins courte durée et à longue durée (avec le fluage réduit 𝜑 𝑒𝑓): • Pour de charges de courte durée (sans fluage)      , , 0 avec 1 ( , ) s cm e c eff c eff E E E E t  Combinaison quasi-permanente des actions          Eqp , 0 , Ed,ELS avec et ( , ) 1 s cm e c eff ef c eff ef ME E E t E M  Combinaison caractéristique des actions   s e cm E E   s e c E E
  63. 63. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 8 10.5 Maîtrise de la fissuration (EC2-1-1 §7.3) 10.5.1 Considérations générales • La fissuration est normale dans les structures en béton armé soumises à des sollicitations de flexion, d'effort tranchant, de torsion ou de traction résultant soit d'un chargement direct soit de déformations gênées ou imposées. • La fissuration doit être limitée afin de ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure et de ne pas rendre son aspect inacceptable (notion d’apparence). • Les fissures peuvent également avoir d'autres causes telles que le retrait plastique ou des réactions chimiques expansives internes au béton durci. L'ouverture de telles fissures peut atteindre des valeur inacceptables mais leur prévention et leur maîtrise n'entrent pas dans le cadre de l’EC2. • Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles ne soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure. 10.5.2 Notion d’ouverture de fissures • Il convient de définir une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) en tenant compte de la nature et du fonctionnement envisagés de la structure ainsi que du coût de la limitation de la fissuration. Valeurs recommandées de wmax par l’EC2
  64. 64. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 9 • L’EC2 renvoie aux Annexes nationales pour fixer les limites des ouvertures des fissures. La valeur de wmax à utiliser est donnée dans le tableau de l’Annexe nationale française (tableau 7.1NF) Valeurs recommandées de wmax suivant l’AN française (ANF 7.1)
  65. 65. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 10 10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (EC2-1-1 §7.3.3) • Cette méthode permet de s’affranchir de la vérification complète de l’ouverture de fissure. Elle s’apparence donc à une méthode forfaitaire • Il convient dans le cas de fissures principalement dues aux charges, de limiter la contrainte dans l’acier aux valeurs forfaitaires du tableau 7.2N et du tableau 7.3.N de l’EC2 en fonction du diamètre obtenu dans le cas d’un calcul tenant compte de la fissuration Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres ∅ 𝑠* pour la maîtrise de la fissuration Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration k k k k k k𝜎 𝑠
  66. 66. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 11 En flexion simple, le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : où: • 𝜙𝑠 est le diamètre maximal modifié de la barre • 𝜙𝑠 ∗ est le diamètre maximal de la barre donné dans le Tableau 7.2 • ℎ est la hauteur totale de la section • ℎ𝑐𝑟 est la hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration sous combinaison quasi-permanente des actions • 𝑑 est la hauteur utile au centre de gravité du lit extérieur d'armatures. • 𝑘 𝑐 est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration ainsi que de la modification du bras de levier. En flexion simple:  Pour des sections rectangulaires et les âmes des sections en T:  Pour les membrures des sections en T: 𝐹𝑐𝑘 est la valeur absolue de l'effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du moment de fissuration calculé avec 𝑓ct,eff 𝐴 𝑐𝑡 est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure ct,eff 0.9 0.5ck c ct F k A f   0.4ck 
  67. 67. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 12 Espacement réel des barres longitudinales Soit n le nombre de barres longitudinales L’espacement réel des armatures du 1er lit est calculé par: Conclusion: Pour que le contrôle de la fissuration sans calcul direct de l’ouverture des fissures soit assuré, il suffit que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite: w nom ,réel réel 2( ) 1 t Lb c n a n       wb nomc nomc,réelL ,réelL ,réelL t t réela réela    ,réel réel ou L s a a
  68. 68. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 13 10.6 Calcul des contraintes à l’ELS 10.6.1 Hypothèses • Les sections planes restent planes et conservent leurs dimensions • Il n’y pas de glissement à l’interface béton-armatures • Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques • L’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton • L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité 10.6.2 Notations • xs : hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée • 1/r : courbure • 𝜀𝑐𝑠 : déformation libre de retrait • fct,eff : contrainte limite de la fissuration du béton • MEd,ELS : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison caractéristique • MEqp : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison quasi permanente • Mcr : moment de fissuration • II : moment d’inertie de la section homogénéisée non fissurée • III : moment d’inertie de la section homogénéisée fissurée • wk : ouverture des fissures • hcr : hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration • 𝜎 𝑠 : contrainte maximale admise dans l’armature après la formation de la fissure • 𝜎 𝑐 : contrainte maximale admise dans le béton sous la combinaison caractéristique • Ecm : module sécant du béton • Ec,eff : module effectif du béton
  69. 69. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 14  Armatures tendues:  Armatures comprimées: 10.6.3 Section rectangulaire non fissurée • Aire de la section complète homogénéisée • Position de l’axe neutre • Inertie non fissurée • Contraintes dans la section  Fibre la plus tendue du béton:  Fibre la plus comprimée du béton: 3 3 2 2w w I 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 3 s s e s s e s s b x b h x I A d x A d x          w 1 2e s sA b h A A     2 1 1 2 2 w / 2e s s s A d A d b h x A     ser c s I M x I        ser 1 1 e s s I M d x I  ser ct s I M h x I     ser 2 2 e s s I M x d I     1d sx c 1s A.N. zone comprimée déformations serM 1sA 2sA h 2d 2s ct 2 /s e  1 /s e  ct c contraintes wb
  70. 70. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 15  Armatures tendues:  Armatures comprimées: 10.6.4 Section en T non fissurée • Aire de la section complète homogénéisée • Position de l’axe neutre • Inertie non fissurée • Contraintes dans la section  Fibre la plus tendue du béton:  Fibre la plus comprimée du béton:     23 3 3 2 2w w f f I 1 1 2 2 eff w eff w f ( ) ( ) ( ) 3 3 12 2 s s e s s e s s s b x b h x h h I A d x A d x b b b b h x                      w 1 2 eff w fe s sA b h A A b b h        2 2 1 1 2 2 w eff w f/ 2 / 2e s s s A d A d b h b b h x A       ser c s I M x I        ser 1 1 e s s I M d x I  ser ct s I M h x I    1sA 2sAfh effb wb 2 /s e  1 /s e  ct c sx A.N. 2d 1dh  ser 2 2 e s s I M x d I    
  71. 71. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 16 10.6.5 Moment de fissuration Mcr C’est un moment critique qui délimite l’apparition de la première fissure mécanique: • Si MEd,ELS < Mcr : la section est non fissurée, toute la section participe à la résistance • Si MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance Mcr est déterminé en considérant que la fibre la plus tendue est à la contrainte limite de fissuration du béton fct,eff Remarque: • fct,eff est la valeur moyenne de la résistance en traction au moment où les premières fissures sont supposées apparaître • Quelle valeur du fluage est à considérer pour Ec,eff ? 𝜑 ∞, 𝑡0 ou 𝜑 𝑒𝑓𝑓? En effet la combinaison caractéristique conduit aux sollicitations les plus sévères. Sous cette combinaison, le coefficient de fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 doit être réduit pour obtenir 𝜑 𝑒𝑓𝑓. C’est donc Ec,eff obtenu avec 𝜑 𝑒𝑓𝑓 qu’il faut considérer pour le calcul de la section non fissurée. cr , I ct eff s I M f h x   , si nous prévoyons que la fissure aura lieu après 28 jours ( ) si nous prévoyons que la fissure aura lieu avant 28 jours ctm ct eff ctm f f f t    
  72. 72. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 17 10.6.6 Section rectangulaire fissurée MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance • Aire de la section complète homogénéisée: • Position de l’axe neutre: • Inertie fissurée: • Contraintes dans la section  Fibre la plus tendue du béton:  Fibre la plus comprimée du béton:  Armatures tendues:  Armatures comprimées: 3 2 2w II 1 1 2 2( ) ( ) 3 s e s s e s s b x I A d x A d x       w 1 2e ss sxA b A A    1 1 2 2 w 2 / 2e s s s s A x x d A d b A     ser c s II M x I        ser 1 1 e s s II M d x I 0 section fissuréect    ser 2 2 e s s II M x d I     1 2 w 1 1 2 2 2 w 1 2 ( ) 2 ( ) 1 1 ( ) e s s s s e s s s A A b A d A d b A A x              1d sxzone comprimée serM 1sA 2sA h 2d wb
  73. 73. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 18 10.6.7 Section en T fissurée • Si xtest ≤ ℎt l’axe neutre est dans la table de compression (cas de section rectangulaire de largeur beff)  Position de l’axe neutre:  Inertie fissurée: • Sinon, l’axe neutre est dans la nervure  Aire de la section homogénéisée:  Position de l’axe neutre:  Inertie fissurée: 1 2 1 1 2 2 tes eff eff t 2 1 2 ( ) 2 ( ) 1 1 ( ) e s s s s e s s A A A d A d x A A b b              Position de l’axe neutre d’une section rectangulaire fissurée de largeur beff testsx x 3 2 2 II 1 1 2 f 2 ef ( ) ( ) 3 s e s s e s s x I A d x A d b x         w 1 2 eff w fe ss sA b A A b b hx                 2 w 1 1 2 2 eff w f1 2 eff w f 2 w 1 2 eff w f 2 ( ) ( ) 1 1 e s se s s s e s s b A d A d b b hA A b b h x b A A b b h                          2 1 1 2 2 w eff w 2 f/ 2 / 2e s s s sxA d A d b b b h x A       3 3 2 2eff eff w f II 1 1 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 3 3 s s e s s e s s b x b b x h I A d x A d x         
  74. 74. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 19 10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS Problème:  Données: MEd,ELS, MEqp, bw, beff, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, wk  Trouver As1 et As2 10.7.1 Section rectangulaire 1. Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant au cas où il n’y a pas d’armature comprimée et les contraintes dans l’armature tendue et dans le béton atteignent les valeurs limites imposées par l’EC2: Définition des pivots à l’ELS ser 1 1 2 3 s s c x M bx d         1 avec e c s e c s x d        Remarque: Dans ce cas, la section est pratiquement fissurée puisque 𝜎 𝑠/𝛼 𝑒 ≈ 23 MPa > fct,eff a b a b sxsx sx ccc  s e   s e   s e    Pivot a Pivot b
  75. 75. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 20 2. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0 • Position de l’axe neutre: est la solution de l’équation: • Armature tendue nécessaire: Question: Est-elle suffisante cette quantité d’armature pour assurer la sécurité à l’état-limite ultime de résistance (ELU) ? Conclusion: Si l’ouverture de fissures est limitée à 0,2mm (fissuration très préjudiciable), l’état-limite déterminant est l’ELS. Une vérification à l’ELU ne présente aucun intérêt. 1 s s x d   Ed,ELS Ed,ELS s1 , 1 (1 / 3)s c s s s M M A z d      Ed,ELS3 2 ser ser 2 1 3 6 (1 ) 0 avec e s s s s M bd             ser3 1 1 2 1 2 cos arccos où 2 1 3 3s                   s1,ELU ,Ed s1,ELS Ed,ELS 1 c ss su c A zM A M z    Ed Ed,ELS 1 , 1.5 280 0.64 435 1.05 s su c s c M M z z             s1,ELU s1,ELS 1 A A   Cas de fissuration très préjudiciable (wmax=0,2mm)
  76. 76. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 21 3. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées. Trois solutions envisageables sont: • Augmenter les dimensions de la section • Utiliser un béton de classe supérieure • Renforcer la section au moyen une nappe d’armatures en compression (As2 > 0) On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2 sont respectées. On fixe:  • As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre: 4. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1) 1d sx A.N. zone comprimée b 1sA h /s e  c contraintes Ed,ELSM 2sA 2 /s e  2d 1 c c s s       1 e c s s e c s x x d         2 2 1 s s s s x d d x      Ed,ELS ser Ed,ELS ser 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( )s s s s M M M M A d d A d d          2 2 1 2 2 1 1 1 20 2 s c s s s s s c s s s s bx A A bx A A            
  77. 77. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 22 5. Déterminer le diamètre et l’espacement des barres pour la maîtrise de fissuration • Déterminer la position de l’axe neutre xs et calculer l’inertie fissurée III en considérant le combinaison quasi permanente (voir 8.4.5) • Calculer la contrainte de l’acier:  Eqp 1 1 e s s II M d x I     Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres pour la maîtrise de fissuration k k k k k k𝜎 𝑠 Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de fissuration Avec l’ouverture de la fissure wk donnée et la contrainte de l’acier calculée, on obtient par lecture des tableaux 7.2N et 7.3.N de l’EC2 un diamètre ∅ et l’espacement des barres
  78. 78. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 23 10.7.2 Section en T 1. Position de l’axe neutre correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a » et « b » 2. Si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ𝑡 puisque l’on cherche à atteindre la contrainte limite dans l’acier 𝜎 𝑠 (pivot a) donc l’axe neutre est dans la table de compression  la poutre fonctionne en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff (voir 10.7.1) 3. Si 𝑥 𝑠 > ℎ𝑡  calculer le moment de référence MTser 4. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la table de compression  la poutre fonctionne en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff 5. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la nervure  la poutre fonctionne en T Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a » et « b » 2 eff f f Tser 1 1 f 2 3 s e b h h M d d h           1 e c s e c s x d        Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T. sxfh c /s e     2 eff w feff f ser 1 1 2 2 3 2 3 s cs c s s s b b x hb x x x h M d d x                    
  79. 79. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 24 6. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0 Le calcul exact de la section des armatures longitudinales tendues est assez compliqué et ne peut se faire sans itération. Compte tenu des valeurs usuelles de hf/d1 ∈ [0,1; 0,3], on peut admettre, comme une expression approchée du bras de levier zs, la formule suivante: Ainsi, il est possible d’estimer la section d’acier tendu nécessaire par: 7. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées  As2 > 0 On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2 sont respectées (pivot a-b). On fixe:  • As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre: 8. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1) 1 f 0.99 0.4s z d h  sx c c  cF sz Ed,ELS s1 s s M A z  s s x x 2 2 1 s s s s x d d x      Ed,ELS ser 2 2 1 2 ( )s s M M A d d     w eff w 2 2 1 1 2 2 fs c f c s s s s s hb x h b b A x A               
  80. 80. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 25 10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELS 1sA 2sA fh effb wb 1sA 2sA 1d 2d wb Données: • Dimensions de la section: bw, beff, d1, d2, hf • Matériaux: 𝜎 𝑐 et 𝜎 𝑠 • Sollicitations: MEd,ELS, MEqp • Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable: wk • Coefficient de fluage final: 𝜑 ∞, 𝑡0  coefficient d’équivalence: 𝛼 𝑒
  81. 81. w effb b 2 eff f f Tser 1 1 f2 3 s e b h h M d d h          Section en T non Ed,ELS TserM M w effb b oui Section rectangulaire non Section en T Données Ed,ELS serM M 3 1 1 2 1 2 cos arccos 3 3s               non s2 0A  Ed,ELS 2 1 2 1 e s M bd      oui Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELS 1 e c s e c s d x        ser w 1 1 2 3 s s c x M b x d         s2 0A  Ed,ELS s1 1(1 / 3)s s M A d    2 2 1 s s s s x d d x      2 2 1 2 s c s s s s bx A A      Ed,ELS ser 2 2 1 2( )s s M M A d d    fsx h oui non    eff ser 1 2 eff w f f 1 2 3 2 2 3 s c s s c s s b x x M d b b x h x h d x                     Ed,ELS serM M non s2 0A  oui s2 0A  1 f0.99 0.4sz d h  Ed,ELS s1 s s M A z   w eff w 2 2 1 1 2 2 fs c f c s s s s s hb x h b b A x A                2 2 1 s s s s x d d x      Ed,ELS ser 2 2 1 2( )s s M M A d d    1 ,min 1 2 Vérifier: et 0.04 s s s s c A A A A A   oui
  82. 82. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 27 10.7.4 Exemple de calcul des armatures à l’ELS d’une poutre en T Soit les poutres isostatiques de 55x125 cm² de portée 13,6m et de 1,5m d’entre axes, associée à une dalle de béton de 15 cm d’épaisseur. Ces poutres reposent sur des appuis de 40cm. • Caractéristique mécanique des matériaux: Béton C30; acier B500B • Classe d’environnement: XD3 • Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 70 kN/m; charges d’exploitation Q = 55 kN/m • Caractéristique pour le fluage  Les charges sont appliquées à 28 jours  Le coefficient de fluage 𝜑(∞, 𝑡0) = 2,5 • La maîtrise de la fissuration est requise • Poutres dans un bâtiment de stockage • Condition d’adhérence est bonne • Taille du plus gros granulat: dg = 25 mm 50 cm 150 cm 15 cm 125 cm
  83. 83. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 28 Ø25 Ø25 Ø25 25 50 cm 150 cm 15 cm 125 cm cnom = 40 mm 3 lits de 5HA25 5HA12 (armature de montage) HA10 cnom = 40 mm
  84. 84. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 29 10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS Après le dimensionnement à l’ELU, il est nécessaire d’effectuer des vérifications portant sur: • Limitation de contrainte dans le béton et dans l’acier • La limite de déformation (flèches) • La limite d’ouverture des fissures • Section minimale d’armature Problème:  Données: MEd,ELS, MEqp, b, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, As1 (As2 éventuel) , 𝛿ad et wmax  Vérifier si 𝜎𝑐 ≤ 𝜎 𝑐 , 𝜎𝑠1 ≤ 𝜎 𝑠 , δ ≤ 𝛿ad et wk ≤ wmax 10.8.1 Vérification des contraintes Remarques: • La vérification des contraintes se fait avec la combinaison caractéristique des charges. Il faut donc prendre Ec,eff calculé avec 𝜑 𝑒𝑓 (voir 10.3.2) • Pour calculer 𝜑 𝑒𝑓, on doit savoir si le fluage est linéaire ou non. Pour cela, il est nécessaire de calculer la contrainte dans le béton sous des charges quasi-permanentes et vérifier l’article 7.2(3) de l’EC2 (voir 10.2.1)  Ed,ELS 1 1 (ou ) e s s s II I M d x I I      Ed,ELS (ou )c s c II I M x I I    Classe d’environnement 𝜎 𝑠 𝜎 𝑐 XD, XF, XS 0,8fyk 0,6fck Autre 0,8fyk fck Contraintes limites à l’ELS sous la combinaison caractéristique (EC2-1-1§7.2)
  85. 85. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 30 10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul (§7.4.2) EC2-1-1§7.4.1 • Il n'est généralement pas nécessaire de calculer les déformations de manière explicite, des règles simples, telles que limitation du rapport portée/hauteur, pouvant être formulées et suffisant pour éviter les problèmes de flèche en situation normale. Des vérifications plus rigoureuses sont nécessaires pour les éléments ne satisfaisant pas ces conditions limites. • L’EC2 n’impose pas de calculer les flèches d’un élément si son rapport portée/hauteur L/d reste inférieur à des limites définies par les formules suivantes:  Pour les sections en Té pour lesquelles le rapport de la largeur de la membrure à la largeur de l'âme est supérieur à 3, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par l'Expression (7.16) par 0,8.  Dans le cas des poutres et des dalles autres que les planchers-dalles, de portée supérieure à 7 m, supportant des cloisons susceptibles d'être endommagées si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de L/d données par l'Expression (7.16) par 7/Leff (Leff étant portée de calcul en mètres, voir chapitre 4).  Dans le cas des planchers-dalles dont la plus grande portée est supérieure à 8,5 m et qui supportent des cloisons susceptibles d'être endommagés si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par l'Expression (7.16) par 8,5/Leff (Leff en mètres).
  86. 86. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 31 Tableau 7.4N : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile en fonction de pourcentage d’armatures pour des cas courants (C30, 𝜎s = 310 MPa) • Les Expressions (7.16a) et (7.16b) ont été établies en admettant que la contrainte de l'acier, pour une section fissurée à mi-portée d'une poutre ou d'une dalle, ou sur appui dans le cas d'une console, est égale à 310 MPa sous les charges de calcul aux ELS. Lorsqu'on admet d'autres niveaux de contrainte, il convient de multiplier les valeurs obtenues au moyen de l'Expression (7.16) par 310/ 𝜎s. On se place en sécurité en admettant que :
  87. 87. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 32 10.8.3 Vérification des flèches par le calcul (§7.4.3) 1. Cas des sections non fissurées Dans cet état, l’acier et le béton agissent de manière élastique ; c’est la résistance des matériaux. On retient la section béton. Exemple d’une poutre simplement appuyée: 2. Cas des sections fissurées Pour les éléments dont on prévoit qu'ils seront fissurés mais pas entièrement, il convient de les considérer comme se comportant d'une manière intermédiaire entre l'état non fissuré et l'état entièrement fissuré; s’ils travaillent principalement en flexion, l’expression suivante prévoit de manière appropriée leur comportement : (1 )II I       où: • α est le paramètre de déformation considéré, qui peut être par exemple une déformation unitaire, une courbure ou une rotation. • αI, αII sont les valeurs du paramètre respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré • est un coefficient de distribution (qui tient compte de la participation du béton tendu dans la section), donné par l‘expression: 2 1 Eqp crM M            4 , 5 384 Eqp c eff I q L f E I f L Eqpq
  88. 88. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 33 La méthode la plus rigoureuse pour déterminer la flèche consiste à calculer la courbure dans un grand nombre de sections le long de l'élément, puis à calculer la flèche par intégration numérique • 1/r représente la courbure totale qui est la somme des courbures dues aux actions mécaniques et au retrait. §7.4.3(6) 1 1 1 (1 ) II I r r r                 1 f dx dx r         
  89. 89. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 34 Principe du calcul des flèches par les courbures r1, r2, r3, r4, r5 r1, r2, r3, r4, r5 L/4 L/4 L/4 L/4 1 2 f2 f3 f4 1 1 1 (1 ) II I f dx dx r r r                       f2 f3 f4 L²/384
  90. 90. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 35 Méthode simplifiée pour le calcul des flèches • L’EC2 reconnaît que cette technique est assez laborieuse et autorise des méthodes simplifiées par lesquelles on peut directement appliquer l’Expression (7.18) sur des flèches et non sur des courbures. • L’EC2 propose d’évaluer la flèche en supposant la poutre non fissurée, puis en la supposant entièrement fissurée. Il faut mener deux calculs, l’un en section non fissurée et l’autre en section fissurée, et ensuite interpoler en utilisant l’Expression (7.18) pour obtenir le flèche Remarques:  Pour calculer les flèches, il suffit de déterminer par les formules bien connues de la structure la valeur des flèches fissurées et non fissurées en prenant respectivement l’inertie fissurée et l’inertie non fissurée.  Le module de Young concernant le béton doit tenir compte du fluage du béton si les charges sont à long terme: Ec,eff (voir 10.3.2) Exemple d’une poutre bi-encastrée: Vérification des flèches: • Pour des conditions d’utilisation normales, la flèche, calculée par rapport aux actions quasi permanentes, doit être inférieure à L/250. • Dans les cas de cloisonnement, la flèche maximum ne doit pas dépasser L/500. (1 )II If f f    f L Eqpq 4 , 1 384 Eqp c eff II I q L f E I I         
  91. 91. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 36 10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par un calcul direct (§7.3.4) • Lorsque les conditions sur le diamètre maximal et l’espacement maximal des barres ne sont pas respectées (voir 10.5.3), la maîtrise de la fissuration s’effectue par un calcul direct de l’ouverture des fissures. Il faut vérifier que wk ≤ wmax • L’ouverture de la fissure, wk, peut se déduire du produit entre l’espacement maximum sr,max des fissures et une déformation moyenne entre aciers et béton : où:  Pour les poutres, l’espacement maximum sr,max des fissures peut être calculé au moyen de l’expression: avec c enrobage et ∅ diamètre de la barre en mm, k1 = 0,8 pour les barres HA, k2 = 0,5 pour la flexion et k2 = 1 pour la traction pure; k3 = 3,4 pour des enrobages inférieurs ou égaux à 25 mm; k3 = 3,4(25/c)2/3 pour des enrobages plus grands (selon Annexe nationale française) Ac,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-à-dire l'aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef, où hc,ef est la plus petite des trois valeurs ci-après : 2,5(h – d), (h – x)/3 ou h/2 , , s p eff c eff A A  
  92. 92. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 37  𝜀sm est la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, incluant l'effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu.  𝜀cm est la déformation moyenne du béton entre les fissures.  𝜀sm - 𝜀cm peut être calculé au moyen de l’expression: où: 𝜎s est la contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée. 𝛼e est le rapport Es/Ecm (selon 7.3.4(2)) 𝑘𝑡 est un facteur dépendant de la durée de la charge: = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte durée; = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue durée. Remarques: • Malgré que à l’ELS la combinaison caractéristique des actions conduise aux sollicitations les plus défavorables la maîtrise de fissuration se réalise sous la combinaison quasi-permanente, car l’ouverture des fissures maximale wmax donnée par l’EC2 est avec cette combinaison. • La combinaison quasi-permanente des actions signifie que les actions considérées sont à long terme. Par conséquent nous prenons kt = 0,4
  93. 93. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 38 10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature (§7.3.2) Il faut vérifier que As ≥ As,min o Sans calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.4.3) o Avec calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.5.1) où : • Act est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure • k est un coefficient qui tient compte de l'effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées : = 1,0 pour les âmes telles que h ≤ 300 mm ou les membrures d'une largeur inférieure à 300 mm = 0,65 pour les âmes telles que h ≥ 800 mm ou les membrures d'une largeur supérieure à 800 mm les valeurs intermédiaires peuvent être obtenues par interpolation • kc est défini au paragraphe 10.5.3 ,min , ct s c ct eff s A A k k f   ,min , ct s c ct eff yd A A k k f f 
  94. 94. Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 39 10.8.6 Exemple de vérifications d’une poutre à l’ELS Soit une poutre de 25x40 cm² de section et de 6m de portée entre axes de poteaux. • Caractéristique mécanique des matériaux: Béton C30; acier B500B • Classe d’environnement: XC3 • Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 9 kN/m; charges d’exploitation Q = 6kN/m • Caractéristique pour le fluage • Les charges sont appliquées à 28 jours • Le coefficient de fluage φ(∞,t0) = 2,3 • Ces poutres sont dans un bâtiment d’habitation • La maîtrise de la fissuration est requise • Condition d’adhérence est bonne • Taille du plus gros granulat: dg = 20 mm 40cm 25cm 5HA16 2HA8 Cadre HA6 25mm
  95. 95. Chapitre 11: Flexion composée 2 11.1 Généralités 11.1.1 Définition 11.1.2 Excentricité 11.2 Imperfections géométriques 11.2.1 Cas des éléments isolés 11.2.2 Cas des structures 11.3 Effets du second ordre 11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre 11.4.1 Cas des éléments isolés 11.4.2 Cas des structures 11.5 Sections partiellement comprimées 11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS 11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU 11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS) 11.5.4 Dimensionnement des armatures des sections rectangulaires (à l’ELU et à l’ELS) 11.5.5 Dimensionnement des armatures des sections en T à l’ELU 11.5.6 Vérification des contraintes à l’ELS 11.6 Sections entièrement tendues 11.7 Sections entièrement comprimées 11.7.1 Dimensionnement des armatures à l’ELU 11.7.2 Dimensionnement des armatures à l’ELS 11.7.3 Sections extrêmes d’armatures dans les poteaux 11.8 Diagrammes d’interaction 11.8.1 Équations nécessaires à l’établissement de diagrammes d’interaction 11.8.2 Courbe d’interaction 11.8.3 Cas limites 11.8.4 Tracé des diagrammes d’interaction 11.8.5 Propriétés des diagrammes d’interaction 11.8.6 Application à la détermination des armatures pour les sections rectangulaires 11.8.7 Application à la vérification des sections rectangulaires 11.8.8 Exemples d’application
  96. 96. Chapitre 11: Flexion composée 3 11.1 Généralités 11.1.1 Définition Une section en BA est soumise à la flexion composée lorsqu’elle est sollicitée à la fois par • un effort normal N (ultime ou service) ; par convention:  Positif pour une compression  Négatif pour une traction • un moment de flexion MG (ultime ou service) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul (de signe quelconque). Ce type de sollicitation intervient aussi bien dans les poutres (action du vent, de poussée des terres, du freinage, du séisme,...) que dans les colonnes soumises à des efforts horizontaux de même nature. Note: en BA, les effets de V sont étudiés indépendamment de ceux de M et N On peut distinguer trois cas de flexion composée en fonction de la distribution des contraintes qu’elle produit dans la section: y z G MG N 0x 1sA 2sA c 1as c 1as 1as 2as 2as 2as Distribution des contraintes dans la section cas 1 cas 2 cas 3    cas 1: la section est entièrement tendue  cas 2: la section est entièrement comprimée  cas 3: La section est partiellement comprimée
  97. 97. Chapitre 11: Flexion composée 4 11.1.2 Excentricité Il est souvent utile d’exprimer une sollicitation de flexion composée en terme d’effort normal excentré. Le système (MG, N) est équivalent à une force unique équipollente à N et appliquée en un point C (centre de pression) contenu dans le plan moyen. La distance GC est appelée excentricité de la force extérieure par rapport à G. Remarques: • En flexion composée, il faut toujours préciser en quel point on effectue la réduction des forces, car la valeur du moment n’est pas indépendante de ce point • Dans le but de simplifier les calculs, il est souvent pratique d’exprimer les sollicitations de flexion composée par rapport au centre de gravité des armatures tendues. Ces sollicitations seront notées (MA, N) ou en terme de l’effort normal excentré (N, eA). • MGo est le moment résultant des calculs de RdM, son signe fournit la position des aciers les plus tendus GM GC e N   A MGo N 0 MGo e N  dh 0 x N A 0M =M +(d-x )NGo NA Go C A ~ ~Go Go C MA A e N 
  98. 98. Chapitre 11: Flexion composée 5 En repérant la position de l’axe neutre par sa profondeur x comptée positivement vers le bas depuis la fibre supérieure, on a les cinq cas de figure possibles suivants lorsque MGo > 0 : Remarque: • L’état réel de contrainte du béton et des armatures n’est connu que lorsque les sections d’armatures sont elles-mêmes connues. Lors du dimensionnement, au voisinage des frontières d’un cas à l’autre, il y a nécessairement une hypothèse à faire, qui ne peut être évitée et dont la validité doit être contrôlée a posteriori.
  99. 99. Chapitre 11: Flexion composée 6 Rupture par flambement de poteaux en béton armé
  100. 100. Chapitre 11: Flexion composée 7 11.2 Imperfections géométriques • Les imperfections géométriques de la structure à l’ELU doivent être prises en compte dans les situations de projets durables et dans les situations de projet accidentelles (EC2 §5.2(2)P). • Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par (EC2 §5.2 (5)): La définition de l et de m dépend de l’effet considéré (EC2 §5.2 (6)):  effet sur un élément isolé tenu ou libre en tête l = hauteur de l’élément et m = 1;  effet sur le système de contreventement (ossatures à poteaux poutres continues) l = hauteur du bâtiment, m = nombre d’éléments verticaux contribuant à la force horizontale appliquée au système de contreventement  effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures transmettant les forces horizontales : l = hauteur de l’étage, m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage contribuant à la force horizontale totale appliquée au plancher. 1 1 0.5(1 ) pour 4 200 1 1 0.5(1 ) pour 4 9 100 1 1 0.5(1 ) pour 9 300 i l m l ml l m                 l = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage en mètres  m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total Imperfection géométrique
  101. 101. Chapitre 11: Flexion composée 8 11.2.1 Cas des éléments isolés Dans le cas d’éléments isolés (poteau isolé), les effets des imperfections peuvent être pris en compte de deux manières : • soit on retient une excentricité de ei (du premier ordre) de la force extérieure: • soit on remplace l’inclinaison par une force transversale Hi dans la position conduisant au moment maximal:  pour les éléments non contreventés:  pour les éléments contreventés: 0 2i i l e  i iH N 2i iH N Remarque: Une solution alternative simplifiée, applicable aux voiles et aux poteaux isolés dans les structures contreventées consiste à prendre une excentricité (EC2 §5.2(7)a + §5.2(9)) : Cette simplification ne s’applique pas aux ponts. 0 400i l e 
  102. 102. Chapitre 11: Flexion composée 9 11.2.2 Cas des structures • On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversale égale aux composantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inclinés(EC2 §5.2 (8)):  système de contreventement:  plancher de contreventement:  diaphragme de toiture: 11.2.3 Prise en compte des écarts sur les dimensions des sections • Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels relatifs aux matériaux. En dehors du cas des sections droites avec un ferraillage symétrique, il n’y donc pas lieu d’en tenir compte (EC2 §5.2(1)P). • Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections dans le cas des sections droites avec un ferraillage symétrique, il convient d’adopter à l’ELU une excentricité minimale (EC2 §6.1(4)): Le moment sollicitant au premier ordre à prendre à l’ELU est:  i i b aH N N  ( ) / 2i i b aH N N  i i aH N 0,min max[20mm; / 30 ]e h , 0Ed Go Ed EdM M e N  0 0,minavec max[ ; ]ie e e
  103. 103. Chapitre 11: Flexion composée 10 11.3 Effets du second ordre (EC2 §5.1(4)). • Les effets du second ordre traduisent l’influence des déformations sur le moment de flexion. • Les effets du second ordre (voir l'EN 1990 Section 1) doivent être pris en compte lorsqu'on prévoit qu'ils affecteront de manière significative la stabilité d'ensemble de la structure ainsi que l’atteinte de l'état-limite ultime dans des sections critiques. • Le calcul au second ordre est très complexe et nécessite des itérations afin d’obtenir l’équilibre de la section • Pour les bâtiments, les effets du second ordre peuvent être négligés lorsqu'ils sont inférieurs à certaines limites Note: Nous abordons dans ce chapitre un calcul de flexion composée sans tenir compte les effets du second ordre. Ils seront traités dans un chapitre consacré à l’instabilité de forme du flambement.
  104. 104. Chapitre 11: Flexion composée 11 11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre 11.4.1 Cas des éléments isolés • Selon EC2 §5.8.2(6), les effets du second ordre peuvent être négligés s'ils représentent moins de 10 % des effets du premier ordre correspondants. mais cela nécessite de réaliser un calcul au second ordre ... • Selon EC2 §5.8.3.1, les effets du second ordre peuvent être négligés si l’élancement 𝜆 est inférieur à 𝜆lim M01, M02 sont les moments d'extrémité du premier ordre, |M02| ≥ |M01|
  105. 105. Chapitre 11: Flexion composée 12 11.4.2 Cas des structures On peut négliger les effets globaux du second ordre dans les bâtiments lorsque (EC2 §5.8.3.3(1)) a) on a où :  FV,Ed est la charge verticale totale (sur les éléments contreventés et les éléments de contreventement)  ns est le nombre d'étages  L est la hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d'encastrement du moment  Ecd est la valeur de calcul du module d'élasticité du béton .  Ic est le moment d'inertie (section de béton non fissurée) de l'élément (des éléments) de contreventement  k1 = 0,31 remarque: lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés à l’ELU, on peut prendre k1 = 0,62. b) et les conditions suivantes sont remplie : • la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ; • les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreventement assuré par des voiles sans grandes ouvertures) ; • les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ; • la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute leur hauteur; • la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage ;
  106. 106. Chapitre 11: Flexion composée 13 11.5 Sections partiellement comprimées 11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS a) Nser étant une compression (Nser > 0) • La section rectangulaire sans aciers comprimés est partiellement comprimée si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ d’où: avec: 𝑀serA moment de service par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀serGo) • La nappe d’aciers n’est tendue que si la position de l’axe neutre est telle que 𝑥 𝑠 ≤ 𝑑  b) Nser étant une traction (Nser < 0) La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures. serA ser,lim w 1 2 3c h M M b h d         2 serA w 1 3 cM b d  xs = h
  107. 107. Chapitre 11: Flexion composée 14 11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU a) NEd étant une compression (NEd > 0) • La section est partiellement comprimée si 𝑥 𝑢 ≤ ℎ pour une section rectangulaire en l’absence d’aciers comprimés avec 𝑥 𝑢 = ℎ, on a: La section est partiellement comprimée tant que : avec: 𝑀EdA moment ultime par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀EdGo) b) NEd étant une traction (NEd < 0) La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures. c w 2 BC BC c c w BC 2 c w 1 1 2 2 2 cd cd cd F b h f Mh h h h M F z b d fh d d d dz d b d f                                  cdfcdf EdA 2 w Ed,A BC cd M b d f   
  108. 108. Chapitre 11: Flexion composée 15 11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS) • On se place dans le cas où au moins l’une des nappes d’armatures est tendue. • En prenant les moments par rapport aux aciers tendus, les équations d’équilibre s’écrivent: • Les équations d’équilibre de la même section soumise en flexion simple au moment MA, aux mêmes déformations (donc aux mêmes contraintes et de même axe neutre) et munie des sections d’armatures 𝐴 𝑠1 FS et 𝐴 𝑠2 FS s’écrivent : 2 1 2 2 1 1 2 2 2 c s s c s s s s A A s s c c s s s c c N F F F F A A M N e F z F z A z F z                 2 2 1 1 1 0c s s s s s N F A A              FS FS 2 2 1 1 FS 2 2 0 c s s s s A s s s c c F A A M A z F z           FS 1 1 1 FS 2 2 s s s s s N A A A A         d’où, par indentification, on obtient:

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