Méthode graphique

1. Analyse d’une
structure en treillis
Utilisation d’une
méthode graphique
Conception de structures
Automne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval

2. Analyse d’un treillis 2
Dans cette présentation, nous 20 kN 30 kN 10 kN
allons voir comment utiliser
une méthode graphique pour
calculer les efforts internes
dans les membrures d’un
treillis.
Pour les fins de la
démonstration, nous
analyserons la structure
suivante:
2 2 2
2
2 2
2
2
10 kN
40 kN

3. 1ère étape
Calcul des
réactions d’appui
3

4. Calcul des réactions d’appui 4
Faisons l’équilibre des forces sur
la structure entière.
ΣMa = 0 d’où:
- (20 kN x 2 m) - (30 kN x 6 m)
- (10 kN x 8 m) + (40 kN x 2 m)
+ (V2 x 8 m) + (H2 x 4 m) = 0
On trouve donc:
8 V2 + 4 H2 = 220
En simplifiant on obtient:
2 V2 + H2 = 55
20 kN 30 kN 10 kN
a
2 2 2
2
2 2
2
2
10 kN
40 kN
V1
H1
V2
H2
Diagramme de corps libre
Equation [1]

5. Considérons maintenant uniquement la portion de la structure
située à droite de la rotule et traçons son diagramme de corps
libre. Sur ce diagramme, les forces H et V représentent les
efforts internes qui sont générés dans la portion manquante
de la structure.
2
30 kN 10 kN
V2
H2
2 2
a
Diagramme de corps libre
H
V
5
Calcul des réactions d’appui

6. Calcul des réactions d’appui
La présence d’une rotule au point a
impose que la somme des moments p/
r à ce point doit être nulle. On trouve
donc que:
ΣMa = 0 d’où:
- (30 kN x 2 m) - (10 kN x 4 m)
+ (V2 x 4 m) - (H2 x 2 m) = 0
On trouve donc:
4 V2 - 2 H2 = 100
En simplifiant on obtient:
2 V2 - H2 = 50
Equation [2]
a 6
2
30 kN 10 kN
V2
H2
2 2
Diagramme de corps libre
H
V

7. Calcul des réactions d’appui 7
Nous avons maintenant un système de 2 équations avec 2 inconnues:
2 V2 + H2 = 55 Equation [1]
2 V2 - H2 = 50 Equation [2]
En isolant H2 dans l’équation [1] on trouve que:
H2 = 55 - 2 V2 Equation [3]
Et en insérant l’équation [3] dans l’équation [2] on obtient:
2V2 - 55 + 2V2 = 50
D’où:
V2 = (50 + 55) ÷ 4 = 26,25 kN
En reportant cette valeur dans l’équation [1] on trouve enfin que:
(2 x 26,25) + H2 = 55
Donc: H2 = 55 - 52,5 = 2,5 kN

8. Calcul des réactions d’appui 8
L’équilibre des forces horizontales
nous donne que:
ΣFh = 0 d’où:
H1 = 2,5 + 40 = 42,5 kN
Et l’équilibre des forces verticales
nous donne que:
ΣFv = 0 d’où:
V1 = 10 + 20 + 30 + 10 - 26,25
= 43,75 kN
20 kN 30 kN 10 kN
a
2 2 2
2
2 2
2
2
10 kN
40 kN
V1
H1
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de corps libre

9. 2eme étape
Diagramme
de forme
et notation
par intervalles
9

10. 10 Diagramme de forme
et notation par intervalles
20 kN 30 kN 10 kN
42,5 kN
2 2 2
2
2 2
2
2
10 kN
40 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
Maintenant que nous avons
tracé le diagramme de corps
libre et calculer les réactions
d’appui de notre structure, on
peut tracer le diagramme de
forme.
Le diagramme de forme est
une représentation graphique,
tracée à l’échelle, du
diagramme de corps libre sur
laquelle on ajoute une
notation par intervalles formée
de chiffres et de lettres.

11. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
Sur le diagramme de forme, on
subdivise le pourtour de la structure
en intervalles que nous désignons
par des lettres majuscules.
L’ordre de numérotation n’a pas
d’importante mais, habituellement,
on commence par l’extrémité
gauche et on tourne dans le sens
horaire.
A
11
L’intervalle A désigne tout le périmètre qui sépare la réaction d’appui
horizontale de 42,5 kN de la charge verticale de 10 kN.
On constate que la structure comprend trois membrures qui sont
adjacentes à l’intervalle A.

12. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle B désigne tout le
périmètre qui sépare la charge
verticale de 10 kN de celle de
20 kN.
On constate que la structure
comprend une seule membrure
qui est adjacente à l’intervalle B.
A
B 12

13. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle C désigne tout le
périmètre qui sépare la charge
verticale de 20 kN de celle de
30 kN.
Deux membrures sont
adjacentes à l’intervalle C.
A
B C 13

14. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle D désigne le
périmètre qui sépare la charge
verticale de 30 kN de celle de
10 kN.
Une seule membrure est
adjacente à l’intervalle D.
A
B C D 14

15. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle E désigne le
périmètre qui sépare la charge
verticale de 10 kN et la charge
horizontale de 2,5 kN.
Une seule membrure est
adjacente à l’intervalle E.
A
B C D
E
15

16. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle F désigne le périmètre
qui sépare la charge horizontale
de 2,5 kN et la charge verticale
de 26,25 kN.
Aucune membrure n’est
adjacente à l’intervalle F.
A
B C D
E
F
16

17. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle G désigne le
périmètre qui sépare la charge
verticale de 26,25 kN et la
charge horizontale de 40 kN.
Cinq membrures sont
adjacentes à l’intervalle G.
A
B C D
E
G F
17

18. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle H désigne le
périmètre qui sépare la charge
horizontale de 40 kN et la
charge verticale de 43,75 kN.
Une seule membrure est
adjacente à l’intervalle H.
A
B C D
E
H
G F
18

19. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
L’intervalle I désigne le périmètre
qui sépare la charge verticale de
43,75 kN et la charge
horizontale de 42,5 kN.
Aucune membrure n’est
adjacente à l’intervalle I.
A
B C D
E
H
G F
I
19

20. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
Nous avons maintenant identifié
tout le périmètre extérieur de la
structure à l’aide de lettres.
Pour compléter notre système
de désignation, nous allons
assigner à chacun des espaces
triangulaires qui sont formés à
l’intérieur de la structure un
chiffre.
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
20
L’ordre de numérotation n’a pas d’importance mais, généralement, on
numérotera ces espaces à partir de la gauche et en tournant dans le
sens horaire. Pour le cas de notre structure, les espaces triangulaires
intérieurs sont numérotés de 1 à 10.

21. Identification
des membrures
21

22. Identification des membrures 22
Chacune des membrures de la
structure sera identifiée par le
couple de lettres et/ou de
chiffres qui désigne les deux
espaces qui sont adjacents à la
membrure.
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10

23. Par exemple, la membrure
identifiée en vert sur la figure ci-contre
sera appelée la
membrure G-6 ou la membrure
6-G.
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
23

24. La membrure identifiée en vert
sur la figure ci-contre deviendra
la membrure 9-10 ou la
membrure 10-9.
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
24

25. La membrure identifiée en vert
sur la figure ci-contre est
appelée la membrure A-4 ou la
membrure 4-A.
… et ainsi de suite !
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
25

26. 3eme étape
Construction
du polygone
de forces
26

27. Construction du polygone de forces 27
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
Nous sommes maintenant prêts à
tracer le polygone de forces en
utilisant une échelle prédéfinie (par
exemple 1 cm = 10 kN).
On placera sur le polygone de forces
des points correspondant aux
intervalles définis précédemment et
qui sont désignés par des lettres ou
des chiffres. Les lignes qui relieront
ces points représenteront les forces
externes qui sollicitent la structure
ainsi que les efforts internes dans les
membrures.

28. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
28
On commence par tracer le
polygone des forces externes
qui sollicitent notre structure.
Pour y parvenir, on parcourt le
périmètre extérieur de la
structure dans le sens horaire.

29. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
1 cm
On place tout d’abord le point a sur notre Polygone de forces
polygone de forces. La force A-B est égale à 10
kN et elle est dirigée vers le bas. Le point b est
donc située à une distance de 1 cm (puisque 1
cm = 10 kN) sur une ligne verticale passant par le
point a. Le point b est situé en-dessous du
point a car lorsque l’on passe de l’intervalle
A à l’intervalle B sur le diagramme de forme,
la force A-B est dirigée vers le bas.
29
Pour éviter d’alourdir et de nuire à la
lisibilité du polygone de forces, on ne
trace pas les pointes de flèches qui
indiquent l’orientation des forces

30. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
Polygone de forces
En poursuivant notre parcours sur le
périmètre extérieur de la structure on
rencontre la charge B-C. Comme
cette charge est égale à 20 kN et est
dirigée vers le bas, le point c sera
situé à 2 cm sous le point b.
30
2 cm

31. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
d
Polygone de forces
On rencontre ensuite la charge C-D
de 30 kN dirigée vers le bas. Le point
d sera donc situé à 3 cm sous le
point c.
31

32. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
d
e
Polygone de forces
La charge D-E est égale à 10 kN et
elle est dirigée vers le bas ce qui nous
permet de placer le point e à 1 cm
sous le point d.
32

33. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
La charge E-F est égale à 2,5 kN et
dirigée vers la gauche. Cela signifie
que le point f sera situé à 0,25 cm à
gauche du point e.
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
d
f e
Polygone de forces
33

34. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
Polygone de forces
La force F-G de 26,25 kN est
dirigée vers le haut. Le point g est
donc situé à 2,625 cm au-dessus
du point f.
34

35. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
h
Polygone de forces
La force G-H de 40 kN est orientée
vers la gauche ce qui nous permet
de placer le point h à 4 cm à la
gauche du point g.
35

36. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
Polygone de forces
La force H-I est égale à 43,75 kN
et dirigée vers le haut. Le point i
est donc située à 4,375 cm au-dessus
du point h.
36

37. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
Polygone de forces
On ferme le périmètre de la
structure avec la force I-A de 42,5
kN dirigée vers la droite. Sur le
polygone de forces, on confirme
que le point a bien situé à 4,25 cm
à la droite du point i.
37

38. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
Polygone de forces
Sur la figure ci-contre, nous avons indiqué
la direction des forces pour bien montrer
que ce que nous venons de tracer corres-pond
au polygone des forces externes qui
sollicitent la structure et que la somme de
toutes ces forces est bien nulle puisque le
polygone est fermé. Cet ensemble de
forces respecte donc les conditions
d’équilibre statique en translation.
38

39. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
Polygone de forces
On peut maintenant placer les
chiffres sur le polygone de forces.
La force A-1 est placée sur un axe
parallèle à la membrure A-1 et
passant par le point a.
39

40. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1
Polygone de forces
La force A-1 est placée sur un axe
parallèle à la membrure A-1 et passant
par le point a.
De la même façon, la force H-1 est
placée sur un axe parallèle à la membrure
H-1 et passant par le point h.
Le point 1 se trouve donc à
l’intersection entre ces deux droites.
40

41. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
Polygone de forces
La force 1-2 est placée sur un axe
parallèle à la membrure 1-2 et passant
par le point 1.
De la même façon, la force G-2 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure G-2 et passant par le point g.
Le point 2 se trouve donc à l’inter-section
entre ces deux droites.
41

42. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
Polygone de forces
La force 2-3 est placée sur un axe
parallèle à la membrure 2-3 et passant
par le point 2.
De la même façon, la force A-3 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure A-3 et passant par le point
a.
Le point 3 se trouve donc à l’inter-section
entre ces deux droites.
3
42

43. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
Polygone de forces
La force A-4 est placée sur un axe
parallèle à la membrure A-4 et passant
par le point a.
De la même façon, la force 3-4 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure 3-4 et passant par le point 3.
Le point 4 se trouve donc à l’inter-section
entre ces deux droites.
43
3 4

44. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
Polygone de forces
La force 4-5 est placée sur un axe
parallèle à la membrure 4-5 et passant
par le point 4.
De la même façon, la force B-5 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure B-5 et passant par le point b.
Le point 5 se trouve donc à l’inter-section
entre ces deux droites.
44
3 4
5

45. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
Polygone de forces
La force 5-6 est placée sur un axe
parallèle à la membrure 5-6 et passant
par le point 5.
De la même façon, la force G-6 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure G-6 et passant par le point g.
Le point 6 se trouve donc à l’inter-section
entre ces deux droites.
3 4
5
6
45

46. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
La force C-7 est placée sur un axe
parallèle à la membrure C-7 et passant
par le point c.
De la même façon, la force 6-7 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure 6-7 et passant par le point 6.
Le point 7 se trouve donc à
l’intersection entre ces deux droites.
3 4
5
6
46

47. 8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
La force C-8 est placée sur un axe
parallèle à la membrure C-8 et passant
par le point c.
De la même façon, la force G-8 est
placée sur un axe parallèle à la
membrure G-8 et passant par le point g.
Le point 8 se trouve donc à
l’intersection entre ces deux droites.
3 4
5
6
47

48. 8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
La force D-9 est placée sur un axe
parallèle à la membrure D-9 et passant
par le point d.
De la même façon, la force 8-9 est placée
sur un axe parallèle à la membrure 8-9 et
passant par le point 8.
Le point 9 se trouve donc à
l’intersection entre ces deux droites.
3 4
5
6
9
48

49. 8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
La force 9-10 est placée sur un axe
parallèle à la membrure 9-10 et passant
par le point 9.
De la même façon, la force E-10 est
placée sur un axe parallèle à la membrure
E-10 et passant par le point E.
Le point 10 se trouve donc à
l’intersection entre ces deux droites.
3 4
5
6
9
10
49

50. CCoonnssttrruuccttioionn dduu ppoolylyggoonnee ddee foforrcceess 50
8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
Finalement on constate que la dernière
force inconnue, G-10 ferme bien le
polygone de force ce qui confirme que
notre analyse est correcte.
3 4
5
6
9
10

51. 4eme étape
Evaluation des
efforts internes
51

52. Évaluation des efforts internes 52
8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
On peut maintenant déterminer l’intensité des
efforts internes en mesurant la longueur des
lignes correspondantes sur le polygone de
forces.

53. 8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
Diagramme d’efforts internes (kN)
53

54. Par exemple, on trouve la
force dans la membrure 5-6
en mesurant la ligne corres-pondante
8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
Diagramme d’efforts internes (kN)
sur le polygone
de forces.
4,8 cm = 48 kN
48
54

55. Après avoir mesurer tous les
efforts internes, on les indique
sur le diagramme d’efforts
internes.
8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
45
14 14
48
Diagramme d’efforts internes (kN)
6445
55
60
86
45
40 40 4
1119
16
1930
1623
3
26
55

56. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
o
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5 7 8 9
10
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Pour déterminer la nature des efforts
internes (tension ou compression), on
choisit un noeud et on classe les
intervalles dans l’ordre horaire.
60
86
45
40
40 4
45
14
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
4 6
56
Considérons, par exemple, le noeud o.
Lorsque l’on tourne autour de ce noeud
dans le sens horaire, on trouve la
séquence suivante:
6-7-G ou G-6-7 ou 7-G-6.
Pour chacune des membrures adjacentes
au noeud o, on utilise la séquence horaire
pour déterminer l’orientation de la force
interne correspondante sur le polygone
de force (le point d’origine et le point
d’arrivée de la force correspond à la
séquence horaire). Si cette force pointe
vers le noeud, la membrure est
comprimée. Si au contraire la force
est dirigée dans la direction opposée
au noeud, la membrure est tendue.

57. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Dans la membrure 6-7, la force est donc
orientée du point 6 vers le point 7 sur le
polygone de forces. Lorsque l’on ramène
cette force sur le diagramme de forme,
4 on constate que la membrure est tendue.
8
a
b
c
d
f e
7
Polygone de forces
i
h
1 2
g
3 4
5
6
9
10
o
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
57

58. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Dans la membrure 7-G, la force est
orientée du point 7 vers le point G sur le
polygone de forces. Lorsque l’on ramène
cette force sur le diagramme de forme, on
4 constate que la membrure est comprimée.
7
3 Polygone de forces
o
8
a
b
c
d
f e
i
h
1 2
g
4
5
6
9
10
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
58

59. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
Dans la membrure G-6, la force est orientée
du point G vers le point 6 sur le polygone de
forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le
diagramme de forme, on constate que la
4 membrure est comprimée.
7
Polygone de forces
o
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
8
a
b
c
d
f e
i
h
1 2
g
3 4
5
6
9
10
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression

60. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Si on examine attentivement le polygone
de forces, on constate que, en fait, la
méthode graphique nous a permis de
faire l’équilibre vectoriel des forces au
4 point o.
7
Polygone de forces
o
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
8
a
b
c
d
f e
i
h
1 2
g
3 4
5
6
9
10

61. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
À titre d’exemple additionnel, voyons
maintenant comment la méthode
graphique nous permet, en fait, de tracer
le polygone de forces au pont z.
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
4
7
Polygone de forces
z
8
a
b
c
d
f e
i
h
1 2
g
3 4
5
6
9
10

62. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Plaçons tout d’abord la force 4-5.
4
7
Polygone de forces
z
8
a
b
c
d
f e
i
h
1 2
g
3 4
5
6
9
10
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
62

63. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
Ajoutons-lui la force 5-6.
4
8
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
z
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression

64. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
... puis la force 6-G ...
4
8
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
z
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
64

65. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
... et la force G-2 ...
4
8
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
z
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
65

66. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
... la force 2-3 ...
4
8
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
z
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
66

67. 10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
5
6
7 8 9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
... et finalement la force 3-4.
On constate que le polygone de
forces est fermé ce qui signifie que le
point z est bien en équilibre statique !
4
8
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
z
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
1623
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression
67

68. 8
10 kN
20 kN 30 kN 10 kN
40 kN
2
1
42,5 kN
43,75 kN
26,25 kN
2,5 kN
Diagramme de forme
A
B C D
E
H
G F
I
3
4
5
6
7 8 9
10
3 4
a
b
c
g
d
f e
i
h
1 2
7
Polygone de forces
5
6
9
10
45
14
48
6445
55
1119
Diagramme d’efforts internes (kN)
En répétant cette procédure à différents
noeuds, on détermine la nature des forces
internes pour chacune des membrures. La
figure ci-dessous montre le diagramme
d’efforts internes une fois complété.
60
86
45
40 40 4
14
16
1930
16 23
3
26
Efforts de tension
Efforts de compression

69. 5eme étape
Choix des
profilés
69

70. Membrure la plus sollicitée et
ses conditions de retenue 70
La membrure H-1 est la
plus sollicitée; elle est
soumise à un effort de
compression Pf = 86 kN.
Ly = 2 m
Selon l’axe faible
ky = 1
Ly = 2 m
Si on considère que les
joints sont rotulés et que
la membrure supérieure
du treillis ne peut pas se
déplacer latéralement
(i.e. le bâtiment est
contreventé), on trouve
les conditions de retenue
du poteau.
déplacement latéral
empêché par le revêtement
de toiture qui agit comme
Lx = 6 m
Selon l’axe fort
kx = 1
Lx = 6 m
un diaphragme
Pf = 86 kN Pf = 86 kN

71. Choix d’un profilé en bois
lamellé-collé 71
Choix: 80 x 190 mm
Selon l’axe faible
k = 1
Ly = 2 m
Pr = 132 kN > Pf
Selon l’axe fort
k = 1
Lx = 6 m
Lequ = Lx/(rx/ry)
= 6000 / 2,38
≈ 2 500 mm
Pr = 85 kN ≈ Pf

72. 72
80 mm
190 mm
Les membrures seront orientées de
façon à ce que le côté le plus long
soit perpendiculaire au plan du treillis