Analyse d’une 
structure en treillis 
Utilisation d’une 
méthode graphique 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Ple...
Analyse d’un treillis 2 
Dans cette présentation, nous 20 kN 30 kN 10 kN 
allons voir comment utiliser 
une méthode graphi...
1ère étape 
Calcul des 
réactions d’appui 
3
Calcul des réactions d’appui 4 
Faisons l’équilibre des forces sur 
la structure entière. 
ΣMa = 0 d’où: 
- (20 kN x 2 m) ...
Considérons maintenant uniquement la portion de la structure 
située à droite de la rotule et traçons son diagramme de cor...
Calcul des réactions d’appui 
La présence d’une rotule au point a 
impose que la somme des moments p/ 
r à ce point doit ê...
Calcul des réactions d’appui 7 
Nous avons maintenant un système de 2 équations avec 2 inconnues: 
2 V2 + H2 = 55 Equation...
Calcul des réactions d’appui 8 
L’équilibre des forces horizontales 
nous donne que: 
ΣFh = 0 d’où: 
H1 = 2,5 + 40 = 42,5 ...
2eme étape 
Diagramme 
de forme 
et notation 
par intervalles 
9
10 Diagramme de forme 
et notation par intervalles 
20 kN 30 kN 10 kN 
42,5 kN 
2 2 2 
2 
2 2 
2 
2 
10 kN 
40 kN 
43,75 k...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
Sur le diagramme de forme, on 
s...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle B désigne tout le 
...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle C désigne tout le 
...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle D désigne le 
périm...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle E désigne le 
périm...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle F désigne le périmè...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle G désigne le 
périm...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle H désigne le 
périm...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
L’intervalle I désigne le périmè...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
Nous avons maintenant iden...
Identification 
des membrures 
21
Identification des membrures 22 
Chacune des membrures de la 
structure sera identifiée par le 
couple de lettres et/ou de...
Par exemple, la membrure 
identifiée en vert sur la figure ci-contre 
sera appelée la 
membrure G-6 ou la membrure 
6-G. 
...
La membrure identifiée en vert 
sur la figure ci-contre deviendra 
la membrure 9-10 ou la 
membrure 10-9. 
10 kN 
20 kN 30...
La membrure identifiée en vert 
sur la figure ci-contre est 
appelée la membrure A-4 ou la 
membrure 4-A. 
… et ainsi de s...
3eme étape 
Construction 
du polygone 
de forces 
26
Construction du polygone de forces 27 
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
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43,75 kN 
26,25 kN 
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Diagram...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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2 
1 
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43,75 kN 
26,25 kN 
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Diagramme de forme 
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B C D 
E 
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I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
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43,75 kN 
26,25 kN 
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Diagramme de forme 
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G F 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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E 
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G F 
I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
A 
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3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
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1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
A 
B C D 
E 
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G F 
I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
La charge E-F est égale à ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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B C D 
E 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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B C D 
E 
H 
G F 
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3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
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Diagramme de forme 
A 
B C D 
E 
H 
G F 
I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
A 
B C D 
E 
H 
G F 
I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
A 
B C D 
E 
H 
G F 
I 
3 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
2 
1 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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B C D 
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G F 
I 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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2 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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E 
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G F 
I 
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20 kN 30 kN 10 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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I 
3 ...
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20 kN 30 kN 10 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
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Diagramme de forme 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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26,25 kN 
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Diagramme de forme 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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20 kN 30 kN 10 kN 
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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2,5 kN 
Diagramme de forme 
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20 kN 30 kN 10 kN 
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Diagramme de forme 
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B C D 
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I ...
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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Diagramme de forme 
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CCoonnssttrruuccttioionn dduu ppoolylyggoonnee ddee foforrcceess 50 
8 
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
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42,5 kN 
43...
4eme étape 
Evaluation des 
efforts internes 
51
Évaluation des efforts internes 52 
8 
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
40 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagram...
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10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
A 
B C D 
E 
H 
G F 
I ...
Par exemple, on trouve la 
force dans la membrure 5-6 
en mesurant la ligne corres-pondante 
8 
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
...
Après avoir mesurer tous les 
efforts internes, on les indique 
sur le diagramme d’efforts 
internes. 
8 
10 kN 
20 kN 30 ...
10 kN 
20 kN 30 kN 10 kN 
o 
40 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
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I ...
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42,5 kN 
43,75 kN 
26,25 kN 
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43,75 kN 
26,25 kN 
2,5 kN 
Diagramme de forme 
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B C D 
E 
H 
G F 
I ...
5eme étape 
Choix des 
profilés 
69
Membrure la plus sollicitée et 
ses conditions de retenue 70 
La membrure H-1 est la 
plus sollicitée; elle est 
soumise à...
Choix d’un profilé en bois 
lamellé-collé 71 
Choix: 80 x 190 mm 
Selon l’axe faible 
k = 1 
Ly = 2 m 
Pr = 132 kN > Pf 
S...
72 
80 mm 
190 mm 
Les membrures seront orientées de 
façon à ce que le côté le plus long 
soit perpendiculaire au plan du...
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13 méthode graphique

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13 méthode graphique

  1. 1. Analyse d’une structure en treillis Utilisation d’une méthode graphique Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Analyse d’un treillis 2 Dans cette présentation, nous 20 kN 30 kN 10 kN allons voir comment utiliser une méthode graphique pour calculer les efforts internes dans les membrures d’un treillis. Pour les fins de la démonstration, nous analyserons la structure suivante: 2 2 2 2 2 2 2 2 10 kN 40 kN
  3. 3. 1ère étape Calcul des réactions d’appui 3
  4. 4. Calcul des réactions d’appui 4 Faisons l’équilibre des forces sur la structure entière. ΣMa = 0 d’où: - (20 kN x 2 m) - (30 kN x 6 m) - (10 kN x 8 m) + (40 kN x 2 m) + (V2 x 8 m) + (H2 x 4 m) = 0 On trouve donc: 8 V2 + 4 H2 = 220 En simplifiant on obtient: 2 V2 + H2 = 55 20 kN 30 kN 10 kN a 2 2 2 2 2 2 2 2 10 kN 40 kN V1 H1 V2 H2 Diagramme de corps libre Equation [1]
  5. 5. Considérons maintenant uniquement la portion de la structure située à droite de la rotule et traçons son diagramme de corps libre. Sur ce diagramme, les forces H et V représentent les efforts internes qui sont générés dans la portion manquante de la structure. 2 30 kN 10 kN V2 H2 2 2 a Diagramme de corps libre H V 5 Calcul des réactions d’appui
  6. 6. Calcul des réactions d’appui La présence d’une rotule au point a impose que la somme des moments p/ r à ce point doit être nulle. On trouve donc que: ΣMa = 0 d’où: - (30 kN x 2 m) - (10 kN x 4 m) + (V2 x 4 m) - (H2 x 2 m) = 0 On trouve donc: 4 V2 - 2 H2 = 100 En simplifiant on obtient: 2 V2 - H2 = 50 Equation [2] a 6 2 30 kN 10 kN V2 H2 2 2 Diagramme de corps libre H V
  7. 7. Calcul des réactions d’appui 7 Nous avons maintenant un système de 2 équations avec 2 inconnues: 2 V2 + H2 = 55 Equation [1] 2 V2 - H2 = 50 Equation [2] En isolant H2 dans l’équation [1] on trouve que: H2 = 55 - 2 V2 Equation [3] Et en insérant l’équation [3] dans l’équation [2] on obtient: 2V2 - 55 + 2V2 = 50 D’où: V2 = (50 + 55) ÷ 4 = 26,25 kN En reportant cette valeur dans l’équation [1] on trouve enfin que: (2 x 26,25) + H2 = 55 Donc: H2 = 55 - 52,5 = 2,5 kN
  8. 8. Calcul des réactions d’appui 8 L’équilibre des forces horizontales nous donne que: ΣFh = 0 d’où: H1 = 2,5 + 40 = 42,5 kN Et l’équilibre des forces verticales nous donne que: ΣFv = 0 d’où: V1 = 10 + 20 + 30 + 10 - 26,25 = 43,75 kN 20 kN 30 kN 10 kN a 2 2 2 2 2 2 2 2 10 kN 40 kN V1 H1 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de corps libre
  9. 9. 2eme étape Diagramme de forme et notation par intervalles 9
  10. 10. 10 Diagramme de forme et notation par intervalles 20 kN 30 kN 10 kN 42,5 kN 2 2 2 2 2 2 2 2 10 kN 40 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme Maintenant que nous avons tracé le diagramme de corps libre et calculer les réactions d’appui de notre structure, on peut tracer le diagramme de forme. Le diagramme de forme est une représentation graphique, tracée à l’échelle, du diagramme de corps libre sur laquelle on ajoute une notation par intervalles formée de chiffres et de lettres.
  11. 11. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme Sur le diagramme de forme, on subdivise le pourtour de la structure en intervalles que nous désignons par des lettres majuscules. L’ordre de numérotation n’a pas d’importante mais, habituellement, on commence par l’extrémité gauche et on tourne dans le sens horaire. A 11 L’intervalle A désigne tout le périmètre qui sépare la réaction d’appui horizontale de 42,5 kN de la charge verticale de 10 kN. On constate que la structure comprend trois membrures qui sont adjacentes à l’intervalle A.
  12. 12. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle B désigne tout le périmètre qui sépare la charge verticale de 10 kN de celle de 20 kN. On constate que la structure comprend une seule membrure qui est adjacente à l’intervalle B. A B 12
  13. 13. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle C désigne tout le périmètre qui sépare la charge verticale de 20 kN de celle de 30 kN. Deux membrures sont adjacentes à l’intervalle C. A B C 13
  14. 14. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle D désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 30 kN de celle de 10 kN. Une seule membrure est adjacente à l’intervalle D. A B C D 14
  15. 15. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle E désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 10 kN et la charge horizontale de 2,5 kN. Une seule membrure est adjacente à l’intervalle E. A B C D E 15
  16. 16. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle F désigne le périmètre qui sépare la charge horizontale de 2,5 kN et la charge verticale de 26,25 kN. Aucune membrure n’est adjacente à l’intervalle F. A B C D E F 16
  17. 17. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle G désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 26,25 kN et la charge horizontale de 40 kN. Cinq membrures sont adjacentes à l’intervalle G. A B C D E G F 17
  18. 18. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle H désigne le périmètre qui sépare la charge horizontale de 40 kN et la charge verticale de 43,75 kN. Une seule membrure est adjacente à l’intervalle H. A B C D E H G F 18
  19. 19. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme L’intervalle I désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 43,75 kN et la charge horizontale de 42,5 kN. Aucune membrure n’est adjacente à l’intervalle I. A B C D E H G F I 19
  20. 20. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme Nous avons maintenant identifié tout le périmètre extérieur de la structure à l’aide de lettres. Pour compléter notre système de désignation, nous allons assigner à chacun des espaces triangulaires qui sont formés à l’intérieur de la structure un chiffre. A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 20 L’ordre de numérotation n’a pas d’importance mais, généralement, on numérotera ces espaces à partir de la gauche et en tournant dans le sens horaire. Pour le cas de notre structure, les espaces triangulaires intérieurs sont numérotés de 1 à 10.
  21. 21. Identification des membrures 21
  22. 22. Identification des membrures 22 Chacune des membrures de la structure sera identifiée par le couple de lettres et/ou de chiffres qui désigne les deux espaces qui sont adjacents à la membrure. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10
  23. 23. Par exemple, la membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre sera appelée la membrure G-6 ou la membrure 6-G. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 23
  24. 24. La membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre deviendra la membrure 9-10 ou la membrure 10-9. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 24
  25. 25. La membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre est appelée la membrure A-4 ou la membrure 4-A. … et ainsi de suite ! 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 25
  26. 26. 3eme étape Construction du polygone de forces 26
  27. 27. Construction du polygone de forces 27 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 Nous sommes maintenant prêts à tracer le polygone de forces en utilisant une échelle prédéfinie (par exemple 1 cm = 10 kN). On placera sur le polygone de forces des points correspondant aux intervalles définis précédemment et qui sont désignés par des lettres ou des chiffres. Les lignes qui relieront ces points représenteront les forces externes qui sollicitent la structure ainsi que les efforts internes dans les membrures.
  28. 28. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 28 On commence par tracer le polygone des forces externes qui sollicitent notre structure. Pour y parvenir, on parcourt le périmètre extérieur de la structure dans le sens horaire.
  29. 29. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b 1 cm On place tout d’abord le point a sur notre Polygone de forces polygone de forces. La force A-B est égale à 10 kN et elle est dirigée vers le bas. Le point b est donc située à une distance de 1 cm (puisque 1 cm = 10 kN) sur une ligne verticale passant par le point a. Le point b est situé en-dessous du point a car lorsque l’on passe de l’intervalle A à l’intervalle B sur le diagramme de forme, la force A-B est dirigée vers le bas. 29 Pour éviter d’alourdir et de nuire à la lisibilité du polygone de forces, on ne trace pas les pointes de flèches qui indiquent l’orientation des forces
  30. 30. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c Polygone de forces En poursuivant notre parcours sur le périmètre extérieur de la structure on rencontre la charge B-C. Comme cette charge est égale à 20 kN et est dirigée vers le bas, le point c sera situé à 2 cm sous le point b. 30 2 cm
  31. 31. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c d Polygone de forces On rencontre ensuite la charge C-D de 30 kN dirigée vers le bas. Le point d sera donc situé à 3 cm sous le point c. 31
  32. 32. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c d e Polygone de forces La charge D-E est égale à 10 kN et elle est dirigée vers le bas ce qui nous permet de placer le point e à 1 cm sous le point d. 32
  33. 33. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme La charge E-F est égale à 2,5 kN et dirigée vers la gauche. Cela signifie que le point f sera situé à 0,25 cm à gauche du point e. A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c d f e Polygone de forces 33
  34. 34. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e Polygone de forces La force F-G de 26,25 kN est dirigée vers le haut. Le point g est donc situé à 2,625 cm au-dessus du point f. 34
  35. 35. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e h Polygone de forces La force G-H de 40 kN est orientée vers la gauche ce qui nous permet de placer le point h à 4 cm à la gauche du point g. 35
  36. 36. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h Polygone de forces La force H-I est égale à 43,75 kN et dirigée vers le haut. Le point i est donc située à 4,375 cm au-dessus du point h. 36
  37. 37. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h Polygone de forces On ferme le périmètre de la structure avec la force I-A de 42,5 kN dirigée vers la droite. Sur le polygone de forces, on confirme que le point a bien situé à 4,25 cm à la droite du point i. 37
  38. 38. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h Polygone de forces Sur la figure ci-contre, nous avons indiqué la direction des forces pour bien montrer que ce que nous venons de tracer corres-pond au polygone des forces externes qui sollicitent la structure et que la somme de toutes ces forces est bien nulle puisque le polygone est fermé. Cet ensemble de forces respecte donc les conditions d’équilibre statique en translation. 38
  39. 39. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h Polygone de forces On peut maintenant placer les chiffres sur le polygone de forces. La force A-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-1 et passant par le point a. 39
  40. 40. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 Polygone de forces La force A-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-1 et passant par le point a. De la même façon, la force H-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure H-1 et passant par le point h. Le point 1 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites. 40
  41. 41. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 Polygone de forces La force 1-2 est placée sur un axe parallèle à la membrure 1-2 et passant par le point 1. De la même façon, la force G-2 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-2 et passant par le point g. Le point 2 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites. 41
  42. 42. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 Polygone de forces La force 2-3 est placée sur un axe parallèle à la membrure 2-3 et passant par le point 2. De la même façon, la force A-3 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-3 et passant par le point a. Le point 3 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites. 3 42
  43. 43. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 Polygone de forces La force A-4 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-4 et passant par le point a. De la même façon, la force 3-4 est placée sur un axe parallèle à la membrure 3-4 et passant par le point 3. Le point 4 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites. 43 3 4
  44. 44. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 Polygone de forces La force 4-5 est placée sur un axe parallèle à la membrure 4-5 et passant par le point 4. De la même façon, la force B-5 est placée sur un axe parallèle à la membrure B-5 et passant par le point b. Le point 5 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites. 44 3 4 5
  45. 45. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 Polygone de forces La force 5-6 est placée sur un axe parallèle à la membrure 5-6 et passant par le point 5. De la même façon, la force G-6 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-6 et passant par le point g. Le point 6 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites. 3 4 5 6 45
  46. 46. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces La force C-7 est placée sur un axe parallèle à la membrure C-7 et passant par le point c. De la même façon, la force 6-7 est placée sur un axe parallèle à la membrure 6-7 et passant par le point 6. Le point 7 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites. 3 4 5 6 46
  47. 47. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces La force C-8 est placée sur un axe parallèle à la membrure C-8 et passant par le point c. De la même façon, la force G-8 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-8 et passant par le point g. Le point 8 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites. 3 4 5 6 47
  48. 48. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces La force D-9 est placée sur un axe parallèle à la membrure D-9 et passant par le point d. De la même façon, la force 8-9 est placée sur un axe parallèle à la membrure 8-9 et passant par le point 8. Le point 9 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites. 3 4 5 6 9 48
  49. 49. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces La force 9-10 est placée sur un axe parallèle à la membrure 9-10 et passant par le point 9. De la même façon, la force E-10 est placée sur un axe parallèle à la membrure E-10 et passant par le point E. Le point 10 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites. 3 4 5 6 9 10 49
  50. 50. CCoonnssttrruuccttioionn dduu ppoolylyggoonnee ddee foforrcceess 50 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces Finalement on constate que la dernière force inconnue, G-10 ferme bien le polygone de force ce qui confirme que notre analyse est correcte. 3 4 5 6 9 10
  51. 51. 4eme étape Evaluation des efforts internes 51
  52. 52. Évaluation des efforts internes 52 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 On peut maintenant déterminer l’intensité des efforts internes en mesurant la longueur des lignes correspondantes sur le polygone de forces.
  53. 53. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 Diagramme d’efforts internes (kN) 53
  54. 54. Par exemple, on trouve la force dans la membrure 5-6 en mesurant la ligne corres-pondante 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 Diagramme d’efforts internes (kN) sur le polygone de forces. 4,8 cm = 48 kN 48 54
  55. 55. Après avoir mesurer tous les efforts internes, on les indique sur le diagramme d’efforts internes. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 45 14 14 48 Diagramme d’efforts internes (kN) 6445 55 60 86 45 40 40 4 1119 16 1930 1623 3 26 55
  56. 56. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN o 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 7 8 9 10 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Pour déterminer la nature des efforts internes (tension ou compression), on choisit un noeud et on classe les intervalles dans l’ordre horaire. 60 86 45 40 40 4 45 14 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 4 6 56 Considérons, par exemple, le noeud o. Lorsque l’on tourne autour de ce noeud dans le sens horaire, on trouve la séquence suivante: 6-7-G ou G-6-7 ou 7-G-6. Pour chacune des membrures adjacentes au noeud o, on utilise la séquence horaire pour déterminer l’orientation de la force interne correspondante sur le polygone de force (le point d’origine et le point d’arrivée de la force correspond à la séquence horaire). Si cette force pointe vers le noeud, la membrure est comprimée. Si au contraire la force est dirigée dans la direction opposée au noeud, la membrure est tendue.
  57. 57. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Dans la membrure 6-7, la force est donc orientée du point 6 vers le point 7 sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, 4 on constate que la membrure est tendue. 8 a b c d f e 7 Polygone de forces i h 1 2 g 3 4 5 6 9 10 o 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 57
  58. 58. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Dans la membrure 7-G, la force est orientée du point 7 vers le point G sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, on 4 constate que la membrure est comprimée. 7 3 Polygone de forces o 8 a b c d f e i h 1 2 g 4 5 6 9 10 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 58
  59. 59. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 Dans la membrure G-6, la force est orientée du point G vers le point 6 sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, on constate que la 4 membrure est comprimée. 7 Polygone de forces o 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) 8 a b c d f e i h 1 2 g 3 4 5 6 9 10 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression
  60. 60. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Si on examine attentivement le polygone de forces, on constate que, en fait, la méthode graphique nous a permis de faire l’équilibre vectoriel des forces au 4 point o. 7 Polygone de forces o 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 8 a b c d f e i h 1 2 g 3 4 5 6 9 10
  61. 61. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) À titre d’exemple additionnel, voyons maintenant comment la méthode graphique nous permet, en fait, de tracer le polygone de forces au pont z. 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 4 7 Polygone de forces z 8 a b c d f e i h 1 2 g 3 4 5 6 9 10
  62. 62. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Plaçons tout d’abord la force 4-5. 4 7 Polygone de forces z 8 a b c d f e i h 1 2 g 3 4 5 6 9 10 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 62
  63. 63. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) Ajoutons-lui la force 5-6. 4 8 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 z 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression
  64. 64. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) ... puis la force 6-G ... 4 8 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 z 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 64
  65. 65. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) ... et la force G-2 ... 4 8 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 z 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 65
  66. 66. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) ... la force 2-3 ... 4 8 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 z 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 66
  67. 67. 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 5 6 7 8 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) ... et finalement la force 3-4. On constate que le polygone de forces est fermé ce qui signifie que le point z est bien en équilibre statique ! 4 8 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 z 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 1623 3 26 Efforts de tension Efforts de compression 67
  68. 68. 8 10 kN 20 kN 30 kN 10 kN 40 kN 2 1 42,5 kN 43,75 kN 26,25 kN 2,5 kN Diagramme de forme A B C D E H G F I 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 a b c g d f e i h 1 2 7 Polygone de forces 5 6 9 10 45 14 48 6445 55 1119 Diagramme d’efforts internes (kN) En répétant cette procédure à différents noeuds, on détermine la nature des forces internes pour chacune des membrures. La figure ci-dessous montre le diagramme d’efforts internes une fois complété. 60 86 45 40 40 4 14 16 1930 16 23 3 26 Efforts de tension Efforts de compression
  69. 69. 5eme étape Choix des profilés 69
  70. 70. Membrure la plus sollicitée et ses conditions de retenue 70 La membrure H-1 est la plus sollicitée; elle est soumise à un effort de compression Pf = 86 kN. Ly = 2 m Selon l’axe faible ky = 1 Ly = 2 m Si on considère que les joints sont rotulés et que la membrure supérieure du treillis ne peut pas se déplacer latéralement (i.e. le bâtiment est contreventé), on trouve les conditions de retenue du poteau. déplacement latéral empêché par le revêtement de toiture qui agit comme Lx = 6 m Selon l’axe fort kx = 1 Lx = 6 m un diaphragme Pf = 86 kN Pf = 86 kN
  71. 71. Choix d’un profilé en bois lamellé-collé 71 Choix: 80 x 190 mm Selon l’axe faible k = 1 Ly = 2 m Pr = 132 kN > Pf Selon l’axe fort k = 1 Lx = 6 m Lequ = Lx/(rx/ry) = 6000 / 2,38 ≈ 2 500 mm Pr = 85 kN ≈ Pf
  72. 72. 72 80 mm 190 mm Les membrures seront orientées de façon à ce que le côté le plus long soit perpendiculaire au plan du treillis

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