Le document présente une analyse technique du robot SCARA IBM à travers le calcul de ses degrés de liberté et la modélisation géométrique directe et inverse. Il détaille les paramètres de configuration, notamment les liaisons et les articulations, ainsi que les transformations de coordonnées nécessaires pour décrire la position de l'organe terminal. Des matrices de transformation sont décrites pour modéliser le comportement du robot en fonction de ses coordonnées articulaires.

1. Jean Michel Olive
Nombre de degrés de liberté :
1996
1996
Les actionneurs (moteurs électriques)
sont embarqués, situés sur le bras i-1
pour commander le bras i (sauf 4).
L’axe 4 a une amplitude illimitée
Indice de mobilité :
M = 6 n - Σ m . Nm
Avec:
m la classe de la liaison : m = 6 - ddl
Nm le nombre de liaisons de classe m.
n le nombre de corps.
Dans notre cas: n = 4
M = 24 - (5×4) = 4
Désigne les possibilités de déplacement indépendamment de
l'objet manipulé par rapport au repère initial lié à sa base.
Jean Michel Olive
comporte 5 corps (C0→C4), reliés
par 4 liaisons (L0→L4).
trois articulations rotoïdes (R) et
une articulation prismatique (P).
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
Robot Scara IBM
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
Robot Scara IBM
Nombre de degrés de liberté : 4.
Robot Scara IBM
411 mm
540°
340°
vue de profil
Jean Michel Olive
240 mm
20 °
Volume de travail du robot SCARA
540 mm
800 mm
z2
z1
C1
x1
C0
C2
z3
x4
x2
C3
z4
x4
1996
vue de dessus
295°
L'axe zj de celui-ci est porté par l'axe de l'articulation j.
270 mm
800 mm
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
651 mm
1996
240 mm
Conventions : Corps j : Cj, Articulation j : qj,
Les corps sont supposés parfaitement rigides,
connectés par des articulations idéales (pas de jeu mécanique,
pas d'élasticité).
On lie le repère Rj au corps Cj.
C4
Jean Michel Olive
340°
295°
540°
0.24 m
480 mm
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320 mm
Volume de travail
Rayon minimum 0.27 m
Rayon maximum 0.8 m
Volume engendré 0.4 m3
Angle de balayage de l’axe 1
Angle de balayage de l’axe 2
Angle de balayage de l’axe 4
Course verticale de l’axe 3
Robot Scara IBM

2. Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
•dj : la distance entre les axes zj-1 et zj le long de xj-1
•θj : l'angle entre les axes xj-1 et xj (rotation autour de zj)
•rj : la distance entre les axes xj-1 et xj le long de zj
Robot Scara IBM
La matrice de
transformation qui
définit le repère R j
dans Rj-1 est donnée
par :
αj
dj
σj = 0 si l’articulation est rotoïde,
σj =1 si l’articulation est prismatique.
Robot Scara IBM
2
3
d1
4
z2
d2
y0 , y1
x0 , x1
z3 , z4
σj
0
0
1
0
αj
0
0
0
0
dj
0
d1
d2
0
θj
θ1
θ2
0
θ4
rj
0
0
r
0
x2
y2
y3 , y4
x3 , x4
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1
1996
0
− Sinθ j
dj 
 Cosθ j


 Cosα j Sinθ j Cosα j Cosθ j − Sinα j − r j Sinα j 
=
 Sinα j Sinθ j Sinα j Cosθ j
Cosα j r j Cosα j 


0
0
1 
0
j
Où d1 et d2 sont des
constantes
et r une variable.
Jean Michel Olive
T j = Rot ( X , α j )Trans( X , d j ) Rot ( Z , θ j )Trans( Z , r j )
z0 , z1
1996
αj
Jean Michel Olive
θj
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Paramètres géométriques du robot (Denavitt - Hartemberg) :
dj
j −1
θj
1996
•αj : l'angle entre les axes zj-1 et zj (rotation autour de xj-1)
La variable articulaire
qj associée à
l’articulation j, est
soit θj soit rj , selon
que la dite
articulation est
rotoïde ou
prismatique. Cela se
traduit par la relation
:
qj = (1 - σj )θj + σj rj
θ
Jean Michel Olive
Passage de Rj-1 à R j fonction de quatre paramètres :
1996
Ici les axes zi sont colinéaires.
Jean Michel Olive
- l'axe zj est porté par l'axe de l'articulation j,
- l’axe xj est porté par la perpendiculaire commune
aux axes zj et zj+1.
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Paramètres géométriques pour une structure ouverte simple
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Le repère R j est défini comme suit :

3. Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
x0 , x1
z3 , z4
x2
y2
x3 , x4
Jean Michel Olive
y3 , y4
Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
Le Modèle Géométrique Direct :
-S1
C1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Notations :
⇒ Ci et Si désignent respectivement le cosinus et le sinus de la variable θi
-S2
C2
0
0
j −1
0
0
1
0
d1
0
0
1
T j = Rot ( X , α j )Trans( X , d j ) Rot ( Z , θ j )Trans( Z , r j )
dj 
− Sinθ j
0
 Cosθ j


 Cosα j Sinθ j Cosα j Cosθ j − Sinα j − r j Sinα j 
=
 Sinα j Sinθ j Sinα j Cosθ j
Cosα j r j Cosα j 


0
0
1 
0
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
C1
S1
0
T1 = 0
0
C2
S2
1
T2 = 0
0
1996
− Sinθ j
dj 
0
 Cosθ j


 Cosα j Sinθ j Cosα j Cosθ j − Sinα j − r j Sinα j 
=
 Sinα j Sinθ j Sinα j Cosθ j
Cosα j r j Cosα j 


0
0
1 
0
1996
T j = Rot ( X , α j )Trans( X , d j ) Rot ( Z , θ j )Trans( Z , r j )
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Le Modèle Géométrique Direct :
Jean Michel Olive
j −1
Jean Michel Olive
y0 , y1
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d2
Le modèle géométrique direct (MGD) est l’ensemble des
relations qui permettent d’exprimer la situation de l’organe
terminal du robot en fonction de ses coordonnées articulaires.
Pour cela, le calcul du MGD implique de calculer les matrices
de transformation de l’organe terminal.
Ainsi, à partir du tableau DH et compte tenu des matrices de
transformation homogène étudiées, nous écrivons les matrices
de transformation homogènes élémentaires iTi+1 de notre robot.
1996
z2
Jean Michel Olive
d1
1996
z0 , z1
Le Modèle Géométrique Direct :
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Paramètres géométriques du robot (Denavitt - Hartemberg) :

4. Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
0
0
1
0
dj 
− Sinθ j
0
 Cosθ j


 Cosα j Sinθ j Cosα j Cosθ j − Sinα j − r j Sinα j 
=
 Sinα j Sinθ j Sinα j Cosθ j
Cosα j r j Cosα j 


0
0
1 
0
Jean Michel Olive
Robot Scara IBM
Le Modèle Géométrique Direct :
0
0
1
0
C2
S2
1
T2 = 0
0
d2
0
r
1
C4
S4
3
T4 = 0
0
-S2
C2
0
0
-S4
C4
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
d1
0
0
1
0
0
0
1
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
0
0
0
1
1996
0
1
0
0
0
0
1
0
Le Modèle Géométrique Direct :
Jean Michel Olive
1
0
2
T3 = 0
0
-S1
C1
0
0
0
0
0
1
T j = Rot ( X , α j )Trans( X , d j ) Rot ( Z , θ j )Trans( Z , r j )
Robot Scara IBM
C1
S1
0
T1 = 0
0
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
j −1
1996
dj 
− Sinθ j
0
 Cosθ j


Cosα j Sinθ j Cosα j Cosθ j − Sinα j − r j Sinα j 

=
 Sinα j Sinθ j Sinα j Cosθ j
Cosα j r j Cosα j 


0
0
1 
0
-S4
C4
0
0
1996
T j = Rot ( X , α j )Trans( X , d j ) Rot ( Z , θ j )Trans( Z , r j )
C4
S4
3
T4 = 0
0
Jean Michel Olive
j −1
d2
0
r
1
Notations :
⇒ Ci et Si désignent respectivement le cosinus et le sinus de la variable θi
⇒ Cij = cos( θi + θj ),
Sij = sin( θi + θj )
2
T4 = 2T3 × 3T4 =
1
0
0
0
0
1
0
0
C4
S4
2
2
3
T4 = T3 × T4 = 0
0
0
0
1
0
d2
0
r
1
-S4
C4
0
0
x
0
0
1
0
C4
S4
0
0
-S4
C4
0
0
d2
0
r
1
0
0
1
0
0
0
0
1
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
0
0
1
0
1996
0
1
0
0
Jean Michel Olive
1
0
2
T3 = 0
0
Le Modèle Géométrique Direct :
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
Le Modèle Géométrique Direct :

5. Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
d2C2+d1
d2S2
r
1
C124
S124
0
0
1
T4 = T1 × T4 = 0
0
Robot Scara IBM
-S124
C124
0
0
C24
x S24
0
0
0
0
1
0
-S24
C24
0
0
0
0
1
0
d2C2+d1
d2S2
r
1
d1C1+d2C12
d2S1C2+d1S1+d2C1S2
r
1
Robot Scara IBM
Le Modèle Géométrique Inverse :
Considérons U0 tel que
U0 =
sx
sy
sz
0
nx
ny
nz
0
ax
ay
az
0
px
py
pz
1
La matrice U0 est une donnée du problème ; elle correspond à la situation
désirée de l’organe terminal dans le repère R0.
1996
Jean Michel Olive
Le système d’équations à résoudre est le suivant : U0 = 0T4
1996
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Le Modèle Géométrique Inverse :
Jean Michel Olive
Le MGD du robot permet de calculer les coordonnées
opérationnelles en fonction des coordonnées articulaires. Le
problème inverse consiste à calculer les coordonnées articulaires
qui amènent l’organe terminal dans une situation désirée,
spécifiée par ses coordonnées opérationnelles. Cette opération
est très souvent appelée transformation de coordonnée (ou
changement de coordonnées ).
Lorsqu’elle existe, la forme explicite qui donne toutes les
solutions possibles au problème inverse constitue ce que nous
appelons le modèle géométrique inverse (MGI).
Nous allons utilisés la matrice de passage du repère R0 au repère
R4 : 0T4
0
0
0
1
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0
0
1
0
d2
0
r
1
0
0
1
0
1996
-S24
C24
0
0
0
0
1
0
-S1
C1
0
0
Jean Michel Olive
C24
S24
1
T4 = 1T2 × 2T4 = 0
0
0
-S4
C4
0
0
C1
S1
0
T4 = 0T1 × 1T4 = 0
0
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d1
C4
0
S4
0 x 0
1
0
0
1
0
1996
-S2
C2
0
0
Jean Michel Olive
C2
S2
1
T4 = 1T2 × 2T4 = 0
0
Le Modèle Géométrique Direct :
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Le Modèle Géométrique Direct :

6. Robot Scara IBM
Robot Scara IBM
C124
S124
0
0
1
T4 = T1 × T4 = 0
0
Robot Scara IBM
d1C1+d2C12
d2S1C2+d1S1+d2C1S2
r
1
d1C1+d2C12
d2S1C2+d1S1+d2C1S2
r
1
et
d1C1 + d2C12 = px
d1S1 + d2S12 = py
(1)
(2)
En élevant au carré et en additionnant les expressions (1) et (2), nous
obtenons :
d12 + d22 + 2d1d2 (C1C12 + S1S12) = px2 + py2
ce qui donne : C2 = (px2 + py2 - d12 - d22)/(2d1d2) car C1C12 + S1S12 = C2
d’où : 1 + tan2θ2 = [(2d1d2)/( px2 + py2 - d12 - d22)]2
De plus : 1 + tan2θ2 = 1/C22
ainsi : θ2 = Arctg[±(√1 - C22/C2)]
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px
py
pz
1
1996
0
0
1
0
ax
ay
az
0
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
nx
ny
nz
0
1996
sx
sy
sz
0
-S124
C124
0
0
px
py
pz
1
Le Modèle Géométrique Inverse :
Jean Michel Olive
C124
S124
0
0
1
T4 = T1 × T4 = 0
0
0
0
1
0
ax
ay
az
0
Robot Scara IBM
Le Modèle Géométrique Inverse :
U0 =
-S124
C124
0
0
nx
ny
nz
0
DIAM-IUSPIM Av. Esc. Normandie Niemen 13397 Marseille Cedex 20
d1C1+d2C12
d2S1C2+d1S1+d2C1S2
r
1
U0 =
sx
sy
sz
0
1996
px
py
pz
1
Jean Michel Olive
0
0
1
0
ax
ay
az
0
Jean Michel Olive
-S124
C124
0
0
nx
ny
nz
0
1996
C124
S124
0
0
1
T4 = T1 × T4 = 0
0
sx
sy
sz
0
Jean Michel Olive
U0 =
Le Modèle Géométrique Inverse :
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Le Modèle Géométrique Inverse :

7. Robot Scara IBM
d’où :
et :
tan (θ1 + θ2 + θ4) = sy/sx
θ4 = Arctg (sy/sx) - θ2 - θ1
1996
Enfin, connaissant θ1 et θ2, nous pouvons déterminer θ4. En identifiant les
matrices U0 et 0T4, nous pouvons écrire : sx = C124 sy = S124
Jean Michel Olive
Les équations précédentes (1) et (2) peuvent s’écrire :
d1C1 + d2(C1C2 - S1S2) = px (1)
d1S1 + d2(S1C2 + S2C1) = py (2)
nous permet d’écrire : C1 = (px + d2S1S2)/(d1 + d2C2)
et en remplaçant dans (2), nous en déduisons :
S1 = [py (d1 + d2C2) - d2S2px]/[(d1 + d2C2)2 + d22S22]
Maintenant, nous remplaçons cette expression dans (1) et nous avons :
C1 = [px (d1 + d2C2) - d2S2py]/[(d1 + d2C2)2 + d22S22]
Nous pouvons alors en déduire :
θ1 = Arctg (S1/C1)
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Le Modèle Géométrique Inverse :