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Graphe 2-pas et contraintes de
         disponibilité

  Etudiante: Mounira BELMABROUK
Plan de l’exposé

1. graphe 2-pas
2. Présentation de l’algorithme à chemin critique
   (ACC)
3. Contraintes de disponibilité




                                                    2
                                                    2
Graphe 2-pas
T11
      T12   T13    T14      T15

      T22
            T23   T24      T25

            T33
                  T34      T35

                  T44
                           T45

                           T55

                                  3
                                  3
Graphe 2-pas
   é ut r lèe              è r ngul ire r oc x=
• R sol ion paal l d’un syst me t ia a pa bl : A b
  N=n*r
     Pour k:=1 à n faire
         Exécuter Trkk:<pour i=(k-1)r+1 à kr faire
                            pour m=(k-1)r+1 à i-1 faire
                                   xi:=xi –aim xm
                            finPour
                               xi:=xi/aii
                         finPour>
         Pour j:=k+1 à n faire
          Exécuter Trkj:< pour i=(j-1)r+1 à jr faire
                            pour m=(k-1)r+1 à ir faire
                                   xi:=xi –aim xm
                            finPour
                           finPour>
         FinPour
     FinPour
                                                          4
                                                          4
Graphe 2-pas




               5
               5
Graphe 2-pas




               6
               6
Plan de l’exposé

1. graphe 2-pas
2. Présentation de l’algorithme à chemin critique
   (ACC)
3. Contraintes de disponibilité




                                                    7
                                                    7
Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC
   Le chemin critique d’une tâche Tjk est défini par les
   tâches: Tjk, Tj+1,k, …, Tkk, Tk,k+1, …,Tnn , sa longueur se note
   cp(Tjk).           T11
                              T12      T1       T14       T15
                                       3
                              T22
                                       T23     T24       T25

                                       T33
                                               T34       T35

                                               T44
                                                         T45

                                                         T55
 Le plus long chemin du graphe est défini par le chemin critique
de la tâche T11.                                                      8
                                                                      8
Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC



Soient Tij et Tkl deux tâches libres:

       • Si cp(Tij) > cp(Tkl ) alors l'exécution de Tij

        commence au plus tard au même instant que Tkl

       • Si cp(Tij) = cp(Tkl ) alors l'ordre d'exécution est
          arbitraire



                                                               9
                                                               9
Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC

Sans communication
       Si p opt ≤p ≤n-1:            T opt,p =T opt =2n-1

        p opt = (2n –1 – (2n 2 – 6n + 5) 1/2 )/2
                                   (n − 1)(n+ 2) 
       Si     1≤p < p opt : Tp =                +p
                                         2p      
Avec communication : τ a =1
            (n − 1)(n+ 2) − 2p2 − 2            2
 Tp (r) =  
                                      + 2p + 1  ( r + (r2 + 3r)τ c )
                                                 
                      2p                      

                                                                          10
                                                                          10
Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC
     Exemple       n=10 , p=3=
                0
                                       6
                       1
                       2
                           3                         10   12
                           4
                               5
                               6
                                   7                 13
        Fin phase (1):             8
Niveau k=min(2p-2,n-2p+1)=3            9   11
                                                14
                                                15
          p1                                    16
          p2                                         17
          p3                                         18
                                                          19
                                                          20



                                                               11
                                                               11
Plan de l’exposé

1. graphe 2-pas
2. Présentation de l’algorithme à chemin critique
   (ACC)
3. Contraintes de disponibilité




                                                    12
                                                    12
Contraintes de disponibilité
 Configuration offline
 Les motifs :



p m                             p m

            t                                 t
Indisponibilité Finale: IF       Indisponibilité Initiale: II



p m                             p m

          t1        t2                     t1       t2
Disponibilité mitoyenne : DM)   Indisponibilité mitoyenne : IM)
                                                                  13
                                                                  13
Contraintes de disponibilité: IF
   Hypothèse: on suppose que les p processeurs sont tous actifs
   jusqu’à le temps t de diminution.:

1) La diminution de nombre de processeurs   change la valeur de Tp :


               (n − 1)(n − 2) − 2(t − 2)p 
          Tp′=                             +t + m − 2
                          2m              




                                                                       14
                                                                       14
Contraintes de disponibilité : IF
Exemple: n=10, p=4, t=5 et m=2


               0
                   1                                    11
                   2
                       3
                       4
                           5                  10   13
                           6
                                 7                 15
                                 8
      Fin phase (1)                  9   12        17   19
                                         14
                                         16
                                              18   20
         p1
         p2                                        21
         p3                                        22
         p4        Tp=18 T’p=25                         23
                                                        24
                                                             15
                                                             15
Contraintes de disponibilité: IF

2) La diminution de nombre de processeurs ne change pas la valeur de
   Tp:
   a) Si t ≥TP-2m alors les (p-m) processeurs diminués sont les
       processeurs inactifs
   b) Si P≥Popt ET pour que T’P =Topt =2n-1 il faut que m ≥ mopt tels que

                       2n − t − 2 − (2n − t − 2) 2 − 2(n − 1)(n + 2) + 4(t − 2)p   
             m opt   =                                                             
                                                   2                               
                                                                                   


   Exemple: N=500, popt=148

                                   p=150            p=200
                        t     50    200 300    50   200 250

                       mopt   148 147 146 144 128 121
                                                                                        16
                                                                                        16
Conclusion


 Ce travail peut être étendu pour les autres motifs de
   disponibilité.
 Trouver les algorithmes correspondants est une tâche
   importante.
 Une expérimentation de ce travail est nécessaire surtout il
   est important d’introduire les coûts de communication




                                                                17
                                                                17
MERCI




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Exposé avril2012

  • 1. Graphe 2-pas et contraintes de disponibilité Etudiante: Mounira BELMABROUK
  • 2. Plan de l’exposé 1. graphe 2-pas 2. Présentation de l’algorithme à chemin critique (ACC) 3. Contraintes de disponibilité 2 2
  • 3. Graphe 2-pas T11 T12 T13 T14 T15 T22 T23 T24 T25 T33 T34 T35 T44 T45 T55 3 3
  • 4. Graphe 2-pas é ut r lèe è r ngul ire r oc x= • R sol ion paal l d’un syst me t ia a pa bl : A b N=n*r Pour k:=1 à n faire Exécuter Trkk:<pour i=(k-1)r+1 à kr faire pour m=(k-1)r+1 à i-1 faire xi:=xi –aim xm finPour xi:=xi/aii finPour> Pour j:=k+1 à n faire Exécuter Trkj:< pour i=(j-1)r+1 à jr faire pour m=(k-1)r+1 à ir faire xi:=xi –aim xm finPour finPour> FinPour FinPour 4 4
  • 7. Plan de l’exposé 1. graphe 2-pas 2. Présentation de l’algorithme à chemin critique (ACC) 3. Contraintes de disponibilité 7 7
  • 8. Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC Le chemin critique d’une tâche Tjk est défini par les tâches: Tjk, Tj+1,k, …, Tkk, Tk,k+1, …,Tnn , sa longueur se note cp(Tjk). T11 T12 T1 T14 T15 3 T22 T23 T24 T25 T33 T34 T35 T44 T45 T55  Le plus long chemin du graphe est défini par le chemin critique de la tâche T11. 8 8
  • 9. Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC Soient Tij et Tkl deux tâches libres: • Si cp(Tij) > cp(Tkl ) alors l'exécution de Tij commence au plus tard au même instant que Tkl • Si cp(Tij) = cp(Tkl ) alors l'ordre d'exécution est arbitraire 9 9
  • 10. Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC Sans communication  Si p opt ≤p ≤n-1: T opt,p =T opt =2n-1 p opt = (2n –1 – (2n 2 – 6n + 5) 1/2 )/2  (n − 1)(n+ 2)   Si 1≤p < p opt : Tp =  +p  2p  Avec communication : τ a =1   (n − 1)(n+ 2) − 2p2 − 2   2 Tp (r) =     + 2p + 1  ( r + (r2 + 3r)τ c )    2p   10 10
  • 11. Présentation de l’algorithme à chemin critique: ACC  Exemple n=10 , p=3= 0 6 1 2 3 10 12 4 5 6 7 13 Fin phase (1): 8 Niveau k=min(2p-2,n-2p+1)=3 9 11 14 15 p1 16 p2 17 p3 18 19 20 11 11
  • 12. Plan de l’exposé 1. graphe 2-pas 2. Présentation de l’algorithme à chemin critique (ACC) 3. Contraintes de disponibilité 12 12
  • 13. Contraintes de disponibilité  Configuration offline  Les motifs : p m p m t t Indisponibilité Finale: IF Indisponibilité Initiale: II p m p m t1 t2 t1 t2 Disponibilité mitoyenne : DM) Indisponibilité mitoyenne : IM) 13 13
  • 14. Contraintes de disponibilité: IF Hypothèse: on suppose que les p processeurs sont tous actifs jusqu’à le temps t de diminution.: 1) La diminution de nombre de processeurs change la valeur de Tp :  (n − 1)(n − 2) − 2(t − 2)p  Tp′=  +t + m − 2  2m  14 14
  • 15. Contraintes de disponibilité : IF Exemple: n=10, p=4, t=5 et m=2 0 1 11 2 3 4 5 10 13 6 7 15 8 Fin phase (1) 9 12 17 19 14 16 18 20 p1 p2 21 p3 22 p4 Tp=18 T’p=25 23 24 15 15
  • 16. Contraintes de disponibilité: IF 2) La diminution de nombre de processeurs ne change pas la valeur de Tp: a) Si t ≥TP-2m alors les (p-m) processeurs diminués sont les processeurs inactifs b) Si P≥Popt ET pour que T’P =Topt =2n-1 il faut que m ≥ mopt tels que  2n − t − 2 − (2n − t − 2) 2 − 2(n − 1)(n + 2) + 4(t − 2)p  m opt =   2    Exemple: N=500, popt=148 p=150 p=200 t 50 200 300 50 200 250 mopt 148 147 146 144 128 121 16 16
  • 17. Conclusion  Ce travail peut être étendu pour les autres motifs de disponibilité.  Trouver les algorithmes correspondants est une tâche importante.  Une expérimentation de ce travail est nécessaire surtout il est important d’introduire les coûts de communication 17 17
  • 18. MERCI 18 18

Notes de l'éditeur

  1. OBJECTIF : je vais présenter l’algo du chemin critique appliqué au graphe 2-pas à tâches de durées égales et je soulève des questions sur les contraintes de disponibilité pour ce problème qui sont en cours d’étude
  2. Correspondance entre tâches et sous-matrices
  3. Graphe 2-pas pour n=6, r=1 et représentation des tâches pour n=3 et r=2
  4. Soient Tij et Tkl deux tâches libres: • Si cp(Tij) &gt; cp(Tkl ) alors l&apos;exécution de Tij commence au plus tard au même instant que Tkl • Si cp(Tij) = cp(Tkl ) alors l&apos;ordre d&apos;exécution est arbitraire