Le document présente divers exercices mathématiques, incluant des démonstrations de propriétés algébriques et des applications de la récurrence. Il aborde des concepts de l'analyse et de la théorie des ensembles. Des affirmations sont posées dans chaque exercice, nécessitant des preuves pour valider les résultats.

1. Exercice 1 : Soit    
2
;a b IR

1-Montrer que : 2 2 1 1
1
2 4
a b a b et ab
 
      
 
2-En déduire que :
2 2
1 1 25
1
2
a b a b
a b
    
               
3-Montrer que :
2 2
25
1 1
2
a b b a
a b a a b b
   
            
4-montrer que :
2 24 4
2 2
cos 1 sin 1 25
0; :
2 cos sin 4
x x
x
x x
      
            
Exercice 2 :
1-montrer par récurrence que :  :9 4 1 6n
n IN divise n   
2-montrer que : 2
1 1
: 1 1 1
n
n IN
n n
    
      
   
3-montrer que : 1; 1: 1 1x y x y xy       
Exercice 3 :
A ; B ; C et D quatre parties d’un ensemble E
1-montrer que :     A B C A C B C     
2-montrer que :     A B C A C B C     
3-montrer que :
 
 
 
B C A E
B D A
C D A E
  
 
 
Exercice 4 :
On considère les deux applications :        : 1; 0; : 0; 0;1g et f     tel que :
   
2
2
1
1
x
f x et g x x
x
  

1-determiner l’application f g
2-montrer que : est f bijective et déterminer sa réciproque 1
f 