Le document traite d'exercices d'arithmétique, axés sur la résolution d'équations spécifiques et l'analyse de propriétés numériques. Les tâches incluent la vérification de solutions, la démonstration de la primalité de certains couples et des calculs de PGCD. Il explore des concepts comme l'appartenance à des ensembles et les propriétés divisibles des entiers.

1. Série 1 : Arithmétiques 1sm biof et aussi 2sm biof
Exercice 1 :
Soit l’équation (E) :       
2 2 2
; : 7 2x y IN x x y x y
    et on pose :
d x y telque x da et y db   
1-on suppose que (x ;y) est solution de l’équation (E ).
a-vérifier que :    2 2 2
7 2a d a b a b  
b-en déduire qu’il existe 2 2 2
:2 7k INtel que a b ka et d a kb    
c-montrer que : a=1
d-en déduire que : 2 2
1 8b d  
2-resoudre l’équation (E) :       
2 2 2
; : 7 2x y IN x x y x y
   
Exercice 2 :
1-resoudre dans 2
l’équation  :3 2 1E x y 
2-montrer que le couple  14 3;21 4n n tel quen IN
   solution de l’équation (E).
3-endeduire que : les nombres 14n+3 et 21n+4 sont premiers entre eux
4- soit d=PGCD (2n+1 ; 21n+4)
a-montrer que : d=1 ou d=13
b-montrer que :  13 6 13d n  
5-soit 2n INtelque n  .on pose : 2 3 2
21 17 4 28 8 17 3A n n et B n n n      
a-montrer que A et B est divisible par (n-1)
b-déterminer suivant les valeurs de n : PGCD (A ; B)
Exercice 3 :
Soit p IN tel que p est premier et 5p 
1-montrer que  2
1 3p  et déduire  2
/ 1 4 1q IN p q q    
2-montrer que :    2 2
1 8 1 24p et p 
3-montrer que :  2
1 24a  tel que a est un entier naturel premier avec 24.