CHAPITRE VIII : Systèmes linéaires Modélisation & Simulation

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Dans la réalité des choses, les systèmes qui composent et forment notre univers sont parfaitement non-linéaires. Pour des raisons de prise en considération et d’étude, nous considérons, pour des systèmes donnés, que la région où celui-ci se comporte d’une manière continu et linéaire.
Le caractère de proportionnalité et de superposition est alors significatif pour ce genre de systèmes.
Le système, c’est la composition au sens Bertallanfy. Nous sous-entendons par cette remarque que SYSTÈME LINEAIRE est non totalement compatible à SYSTÈME D’EQUATIONS LINEAIRES.
Une équation est dite linéaire si les variables font apparaître des évolutions indépendantes proportionnelles. Un système d’équations linéaires, est une compositions de telles équations.
Le système est dit LINÉAIRE si la fonction de transfert qui décrit son comportement fonctionnel est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de la proportionnalité et de la superposition.

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CHAPITRE VIII : Systèmes linéaires Modélisation & Simulation

  1. 1. Université de Béchar Laboratoire des Études Énergétiques en Zones Arides Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed, http://www.univ-bechar.dz/mtamali Université de Béchar | FS&T ENERGARID Lab./SimulIA team SITI PNR 83/TIC/2011 CHAPITRE VIII : Systèmes linéaires Modélisation & Simulation
  2. 2. Présentation The University of Bechar was born in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES) in 1992 it becomes University Center and 07/01/2007, it was officially declared as a university. Since then, many research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers (7 research teams) to solve real problems affecting arid zones, SimulIA is one of the teams of the same laboratory. The workload of SimulIA concern studies and applications of modeling and simulation of systems in arid areas. Research areas:  Energy & Environment (Modeling & Simulation)  Application of heat in arid zones  Energy economy.  Mapping and development of resources in arid zones.  SIMULIA for the task in the short term, to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia
  3. 3. Plan Overview & Presentations Definitions & Concepts the ambiguities How to get a Model Context of Use conclusions references
  4. 4. Généralités & Présentations Dans la réalité des choses, les systèmes qui composent et forment notre univers sont parfaitement non-linéaires. Pour des raisons de prise en considération et d’étude, nous considérons, pour des systèmes donnés, que la région où celui-ci se comporte d’une manière continue et linéaire. Le caractère de proportionnalité et de superposition est alors significatif pour ce genre de systèmes. Le système, c’est la composition au sens Bertallanfy. Nous sous- entendons par cette remarque que SYSTÈME LINEAIRE est non totalement compatible à SYSTÈME D’EQUATIONS LINEAIRES. Une équation est dite linéaire si les variables font apparaître des évolutions indépendantes proportionnelles. Un système d’équations linéaires, est une compositions de telles équations. Le système est dit LINÉAIRE si la fonction de transfert qui décrit son comportement fonctionnel est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de la proportionnalité et de la superposition.
  5. 5. Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t). Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite. Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la composition faite de n équations linéaires : a11x1 + a12x2 + … = k1 a21x1 + a22x2 + … = k2 …. an1x1 + an2x2 + … = kn où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou constantes et les aij sont les n*p coefficients du système ou multiplicateur des variable xi. Géométriquement, les n équations représentent les n droites en intersection dans un référentiel R n. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant, autour d'un point de considération finie (équilibre fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond au système non linéaire. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin (1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Définitions & Bases Bode BellmanKalman Pontryagin
  6. 6. Ambiguïtés La première difficulté réside dans la confusion faite en comparant les SL aux SEL. Le cadre de ce cours concerne plus les SL malgré que ceux-ci peuvent être régis, dans des cas précis (économique par exemple) par des SEL. La deuxième ambiguïté touche la considération du système et du système mathématique qui lui est associé comme une seule entité. La réalité est tout à fait distincte. k étant la raideur du ressort. L’oscillation est fonction de l’environnement. Ces des systèmes qui se manifestent proportionnellement à la cause qui est à l’origine de l’action. Dans cette même situation, Les SEL sont une forme d’écriture (modèles simplifiés, modèles linéarisés) représentant des cas d’équivalents de systèmes linéaires. C’est le cas des systèmes économiques où nous décrivons l’évolution des variables du système par une proportionnalité d’ordre 1. z=CT*X Sous des contraintes (X)=b et pour lesquelles X≥0 et  fonction . Concours de droites : Linéarisation Concours de droites : Domaine Allure de la variation Cas de la consommation De l’énergie Concours de courbes Cas de L’investissement/Amortissement
  7. 7. Modélisation Problème type : Une usine dispose de 4 machines utilisées toutes pour la production de 3 types de pièces A, B et C. Chaque pièce nécessite un temps tX de fabrication différent suivant la machine où elle est fabriquée. De plus, chaque machine offre un temps limite d’utilisation tui. Le but est de répartir au mieux la fabrication des différentes pièces sur les machines pour maximiser le bénéfice. Formalisation A={aij} : coefficients durée utilisation/machine (heures) b={bi} : vecteur des durées max d’utilisation de la machine i (heures) C={cj} : vecteur bénéfices rapportés sur vente de la pièce de type j X={xj} : vecteur nombre d’unités à produire (sans unités) Z : fonction objectif = CT*X, Total bénéfice à maximiser. Donc, Z = CT*X A*X ≤ b et X≥0 (condition économique) Modélisation graphique Nous remarquons que les droites dictées par le concours des équations des contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine () qui contient la solution du problème posé.
  8. 8. Modélisation Formalisation x1 + x2+x3 ≤ 100 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 ≤ 450 3*x2 + x3 ≤ 150 X3 ≤ 60 X ≥ 0 condition économique Total bénéfice à maximiser (en DA). Donc, Z=81*x1 +90*x2 + 70*x3 Modélisation graphique Nous remarquons que les plans dictées par le concours des équations des contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine () qui contient la solution du problème posé. x1 + x2+x3 = 100 : la plan α 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 =450 : la plan β 3*x2 + x3 = 150 : la plan γ X3 = 60 : la plan δ Le domaine  représente la région volumique dans laquelle se trouve le point Zopt = {x1 opt, x2 opt, x3 opt}qui équivaut à la valeur de zmax. Selon le module SOLVEUR d’excel de Microsoft les résultats sont : {50, 50, 0} et le bénéfice total Zopt est égal à 8550 DA. Le nombre d’unités à produire de type C est égal à 0, ceci veut dire que c’est pas profitable d’en produire.
  9. 9. Modélisation Méthode de Simplexe Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT.X sous les contraintes 1(X) ≤ b1 2(X) = b2 3(X) ≥ b3 X≥0 (condition économique), b1  b2  b3 = b : vecteur second membre Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i  [1,m]. Une écriture condensée de la forme (PL) : Z = CT.X s.c. (X) ≤ b X≥0 Est toujours possible. Solution réalisable Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme aisée suivante (forme PL1) : Z = CT.X s.c. ’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X  si. X≥0 Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème. N = {1, 2, 3, …, n} Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE.
  10. 10. Modélisation Méthode de Simplexe D’où, une solution réalisable est la considération des variable de la base réalisable comme solution possible au problème tel qu’il a été décrit (forme PL1), les variables considérées sont appelées variables de base. Par contre, le complément de β dans N noté β=N-β) comprend des variables dites variables hors-base. Le problème est alors décrit par : Zβ = CB T.Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Avec Xβ=0 et CBC, Zβ = Fonction objectif pour une base β. B est la matrice de passage formée par les colonne relatives aux variable de base seulement et elle représente le complément à A formée par les coefficients des . La solution recherchée est donnée par Xβ = B-1b. Formulation du Simplexe Le problème ainsi formulé résulte d’une image globale donnée par : Z = Zβ + Zβ = CB T.Xβ + CB T.Xβ B.Xβ + B.Xβ = b Xβ ≥ 0 et Xβ ≥ 0 Dans l’équation de Z nous substituons X par son expression et nous aurons : Z = CB T.B-1b + CB T.Xβ Si nous choisissons xi  β par défaut et par la même occasion, nous sous-estimons une autre xj  β, nous commettons une erreur donnée par : - yi ordonée de xi et égale à bi/aij , j étant la colonne de xi alors i  β. yimin=Min{yi; i  β} - cBj quantité dite coùt marginal de la variable xj notée j. jmax=Max{j, j  β} La correction de cette erreur d’estimation est reprise ans l’Algorithme du Simplexe.
  11. 11. Modélisation Méthode de Simplexe Algorithme du Simplexe Après la construction du PL2 à partir de PL0 et PL1 Zβ = CB T.Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Nous choisirons b sachant que la solution est donnée par Xβ = B-1b. On forme xβ à partir des m variables d’écart si introduite lors de la construction de β. Les coût marginaux des variables hors base est alors prise j=-cj. On forme le tableau T={tij} Dans ce qui suivra, nous appliquerons les deux critère de G. Dantzig (1914-2005) Cas d’une maximisation 1. Si tous les j sont positifs ou nuls, le problème converge, on s’arrête. 2. Calculer jmax=Max{|j|, j  β} la colonne correspondante est relative à la variable entrante notée jo. 3. Calculer l’ordonné minimal yimin=Min{yi; i  β} et par suite l’indice de la variable de base à faire sortir io. 4. L’intersection de la colonne jo et de la ligne io donnera la position du pivot aio,jo. Toute la ligne io de la matrice A est alors divisée par celui-ci (Réduction de Gauss-Jordan ). 5. Les autres lignes sont transformées selon la formule suivante : 6. Le tableau T est remplacé par sa résultante T’ après ces transformations et on revient vers l’étape 1). La méthode du Simplexe, des tableaux est la plus commode et simple à utiliser, implémenté sous forme code informatique à déployer pour une exécution Stand-Alone ou à travers des Applets Java. George Dantzig     111,11,1*'' ,,,,  njetmisisaufnjetmipourtttt oo jijijiji oooo jijiji ttt ,,, /'   oo jijijiji ttttaonnjetmipour ,,,, *''11  Tableau T du Simplexe à transformer en T’ Camille Jordan 1838-1922 Carl Friedrich Gauss 1777-1855
  12. 12. Modélisation Tableau T du Simplexe
  13. 13. Modélisation Méthode de Simplexe Maximize p = 81x +90y + 70z subject to x + y + t <= 100 x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 = 100 6x + 2y + 3t <= 450 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 = 450 3y + t <= 150 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 = 150 t <= 60 t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 = 60 X, y, t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3) si variable d’écart, β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4} Tableau #1 x y t s1 s2 s3 s4 1 1 1 1 0 0 0 100 6 2 3 0 1 0 0 450 0 3 1 0 0 1 0 150 0 0 1 0 0 0 1 60 -81 -90 -70 0 0 0 0 0 j≤0 donc on continue, on fait sortir s3 (ord=150/3ordmin) et entrer y (jmax=|-90|) Tableau #2, β1 : base 1= {s1, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 50 6 0 2.33 0 1 -0.667 0 350 0 1 0.333 0 0 0.333 0 50 0 0 1 0 0 0 1 60 -81 0 -40 0 0 30 0 4500 j≤0 donc on continue, on fait sortir s1 (ord=50/1ordmin) et entrer x (jmax=|-80|) Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 50 0 1 0.333 0 0 0.333 0 50 0 0 1 0 0 0 1 60 0 0 14 81 0 3 0 8550, j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550
  14. 14. Modélisation Etude de la sensibilité de la méthode de Simplexe Maximizser p = (81+α).x +(90+β).y + (70+γ).sous les contraintes suivantes x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 = (100+1) 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 = (450+2) 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 = (150+3) t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 = (60+4) X, y, t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3), Les paramètres a, b, l, d1,d2,d3 et d4 peuvent être nuls ce qui conduit au problème dans son état d’origine. Si c’est le cas, les transformations successives mèneront au tableau 3 suivant. Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 50 0 1 0.333 0 0 0.333 0 50 0 0 1 0 0 0 1 60 0 0 14 81 0 3 0 8550, j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550 Sinon. Pour β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4} Tableau #1 x y t s1 s2 s3 s4 1 1 1 1 0 0 0 (100+1) 6 2 3 0 1 0 0 (450+2) 0 3 1 0 0 1 0 (150+3) 0 0 1 0 0 0 1 (60+4) -(81+α) -(90+β) -(70+γ) 0 0 0 0 0 Il faut déterminer Djmax et ymin en fonction des paramètres en question. Il est clair, que z soit fonction de ces paramètres. Dans quelle mesure, z sera sensible aux valeurs des paramètres un à un.
  15. 15. Cadre d’utilisation Là où le système équivalent est régit par un modèle mathématique linéaire.
  16. 16. Conclusions Pour entreprendre des actions sûres et avec impact réel, la méthodologie est d’une grande importance. C’est, en d’autres termes, ce que justifie le prix à payer avant d’atteindre son objectif. Nous en tant que créations, les systèmes qui nous entourent, recèlent de beaucoup de surprises. L’adaptation d’une stratégie d’ évaluation de performances nous permet de délimiter la zone appropriée pour entamer nos observations du système. Juger c’est la dernière action mais appréhender en est la première. Les améliorations, les évolutions d’un système donné, ne sont acceptables que si l’on a, à priori, bien collecter toutes les informations relatives à la composition et constitution, au fonctionnement et à la dépendance vis-à-vis d’autres systèmes (dits adjacents). Le coût encourut si l’erreur est commise pourrait être fatale, pas seulement pour le système en question mais aussi pour tous les systèmes en relation directe ou indirecte. Garder l’équilibre universelle est une affaire primordiale. L’observation scientifique, la modélisation et la simulation et encore plus, l’évaluation des performances et l’étude de la robustesse, sont les outils de manœuvres. L’optimisation des outils et des méthodologies reste pour toujours une question de possibilités offertes à l’opérateur et à l’observatoire pour améliorer selon ses besoins les performances, sans enfreindre à l’équilibre des compositions et relations totales. Les libertés à l’introduction d’une certaine mise à jour est toujours garantie, sauf nécessité de garantir la non interférence avec la sûreté des ensemble adjacents.
  17. 17. MERCI POUR VOTRE ATTENTION Fin du huitième chapitre Nous sommes interpellés par les besoins vitaux : ne cherchez jamais à en inventer ! Suivez le cours en douceur Faites LA bonne Observation, décomposer, recomposer et valider une Conception, Formaliser Ne vous fiez pas aux apparences linéaires du système, il y a toujours une face cachée La caractéristique de non-linéarité.
  18. 18. Références Grégoire Allaire, ‘Analyse numérique et optimisation’, Editions Ecole Polytechnique, ISBN 978-2-7302-1255-7, 2005, pp 409. Yadolah Dodg, ‘Optimisation appliquée’, Edition Springer, ISBN 2-287-21335-X, 2004, pp 276. http://www-pequan.lip6.fr/~jmc/polycopies/cours2-meth_dir_sys_lin.pdf L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972. http://www.ipgp.jussieu.fr/~grandin/Raphael_Grandin_personal_web_page/Teaching_files/1_oscillateurs.pdf http://wims.unice.fr/wims/fr_U1~algebra~docsyslin.fr.html https://magarotto.users.greyc.fr/pdf/TD_Regul_2005.pdf https://cours.etsmtl.ca/seg/mbeaudin/MAT265/BlocR%C3%A9sum%C3%A9s/R%C3%A9sum%C3%A9Laplace.pdf http://www.math.u-bordeaux1.fr/~sakkouch/Enseignements/ENSC/Cours/Simplexe.pdf http://www.hec.ca/cam/aide/rubriques/algorithme_simplexe.pdf http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies http://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.html http://algos.inesc-id.pt/algos/software.php http://www.neos-server.org/neos/

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