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Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
On dit que f est dérivable en a s’il e...
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Approximation affine : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
Si f est dérivable en a, alors...
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Opérations sur les dérives
Lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I
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Cours dérivabilité

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Cours dérivabilité

  1. 1. 1 Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a . On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre réel ℓ tel que : ℓ= −+ → h )a(f)ha(f lim 0h ou encore ℓ= − − → ax )a(f)x(f lim ax Le réel ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a , il noté )a('f (*) Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une tangente T d’équation : y = )a('f (x – a ) + f(a) Le vecteur directeur de cette tangente : est       )a('f 1 u Exemple : Soit 3 xx:f ֏ . Montrer que f est dérivable en a où a est réel quelconque. = − − → ax )a(f)x(f lim ax = − − → ax ax lim 33 ax = − ++− → ax )ax²a²x)(ax( lim ax ²a3)ax²a²x(lim ax =++ → alors f est dérivable en a et on a : ²a3)a('f = Définition 2 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:]a-h ,a](h >0) On dit que f est dérivable à gauche en a s’il existe un nombre réel 'ℓ tel que : ' h )a(f)ha(f lim 0h ℓ= −+ − → ou encore ' ax )a(f)x(f lim ax ℓ= − − − → Le réel 'ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à gauche en a , il noté )a('f g . Définition 3 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme : [a , h+a[ ( h>0) On dit que f est dérivable à droite en x0 s’il existe un nombre réel ''ℓ tel que : '' h )a(f)ha(f lim 0h ℓ= −+ + → ou encore '' ax )a(f)x(f lim ax ℓ= − − + → Le réel ''ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à droite en a , il noté )a('f d Conséquences : 1°) f est dérivable en a si et seulement si )a('f g = )a('f d nombre fini 2°)Si f est dérivable à droite de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi tangente Td d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T dd +−= et x a≥ 3°)Si f est dérivable à gauche de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi tangente Tg d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T gg +−= et x a≤ Interprétation graphiques : ∞= − − → ax )a(f)x(f lim ax ou encore ∞= −+ → h )a(f)ha(f lim 0h Si : Interprétation graphique : +∞= − − + → ax )a(f)x(f lim ax ou −∞= − − − → ax )a(f)x(f lim ax Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi tangente verticale dirigé vers le haut d’équation : x = a et y ≥ f(a) +∞= − − − → ax )a(f)x(f lim ax ou −∞= − − + → ax )a(f)x(f lim ax alors Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi tangente verticale dirigé vers le bas d’équation : x = a et y ≤ f(a) Exemple : Etudier la dérivabilité de f à droite de point d’abscisse x = 0 et interpréter la résultat tel que : f(x) = x = − − + → 0x )0(f)x(f lim 0x =+ → x x lim 0x +∞=+ → x 1 lim 0x alors la courbe alors Cf admet en point ( )0,0M un demi tangente verticale dirigé vers le haut d’équation : x = 0 et y ≥ 0 Fiche de cours 4ème Maths DerivabilitesDerivabilitesDerivabilitesDerivabilites Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  2. 2. 2 Approximation affine : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a . Si f est dérivable en a, alors : h)a('f)a(f)ha(f +≈+ On dit que h)a('f)a(f + est une approximation affine de )ha(f + , pour h voisin de zéro. Exemple :Trouver une valeur approchée de 3 )98.3( Soit 3 xx:f ֏ , a = 4 et h = -0.02 alors 100 )4('f2 )4(f)02.04(f −≈− alors 04,63)98.3( 3 ≈ ( le calculatrice donne : 044792,63 ) Fonction composée : Si f est dérivable sur un intervalle I et g dérivable sur un intervalle )I(fJ ⊂ alors fg est dérivable sur I et on a pour tout x de I : ( ) ( ) )x(fg)x(f)x(fg ′×′= ′ Théorème de Rolle Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et vérifiant f(a) = f(b) . Si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = 0 . Théorème des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = ab )a(f)b(f − − Sens de variation :Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sue ]a,b[ Si f’(x) ≥ 0 sur ]a,b[ alors f est croissante sur [a,b] Si f’(x) >0 sur ]a,b[ alors f est strictement croissante sur [a,b] Si f’(x) ≤ 0 sur ]a,b[ alors f est décroissante sur [a,b] Si f’(x) <0 sur ]a,b[ alors f est strictement décroissante sur [a,b] Si f’(x) = 0 sur ]a,b[ alors f est constante sur [a,b] Inégalités des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Si : existe deux réels m et M tels que : m ≤≤≤≤ f’(x) ≤≤≤≤ M pour tout x de ]a,b[ On a alors : m ≤≤≤≤ ab )a(f)b(f − − ≤M Si pour tout x de ]a,b[ : k)x('f ≤ alors abk)x(f)b(f −≤− Point d’inflexion :Soit x0 un réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0. Si f’ s’annule en 0x sans changer de signe alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion. Si f’’ s’annule en 0x , en changeant de signe , alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion. Extremum *)Si f admet un extremum local en 0x alors 0)x(f 0 =′ *)Si f ′ s’annule en 0x en changeant de signe alors f admet un extremum local en 0x . Tableau de dérivé : Fonction f Fonction dérivée f’ Domaine de définition de f’ F(x)= k ( constante) F’(x) = 0 R F(x)= x F’(x) = 1 R F(x)=ax+b F’(x) = a R F(x) = xn ( n * Z∈ ) F’(x) = nxn-1 R si n>0 ; R* si n <0 F(x) = x F’(x) = x2 1 R*+ F(x) = x 1 F’(x) = - ²x 1 R* F(x) = cos(x) F’(x) = - sin(x) R F(x) = sin(x) F’(x) = cos(x) R F(x) = tan(x) F’(x) = 1 + tan²(x) = )x²(cos 1 R-       ∈Zk; 2 k π F(x) = cos(ax+b) F’(x) = - a sin(ax+b) R F(x)=sin(ax+b) F’(x) = a cos(ax+b) R F(x)=tan(ax+b) F’(x) = a(1 + tan²(ax+b) R-             ∈ − Zk; a b 2k π
  3. 3. 3 Opérations sur les dérives Lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I Fonction Dérivée Conditions u + v u’ + v’ k.u ( k =constante) k.u’ u.v u’.v + u.v’ v 1 ²v 'v − 0v ≠ sur I v u ²v 'v.uv'.u − 0v ≠ sur I un ( n * Z∈ ) n.u’.un-1 u > 0 sur I si n 0≤ u u2 'u u > 0 sur I uv ( )u'v'u ×

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