bac math tun

1. 1
Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre réel ℓ tel que : ℓ=
−+
→ h
)a(f)ha(f
lim
0h
ou encore
ℓ=
−
−
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
Le réel ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a , il noté )a('f
(*) Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une tangente T
d’équation : y = )a('f (x – a ) + f(a)
Le vecteur directeur de cette tangente : est 





)a('f
1
u
Exemple : Soit 3
xx:f ֏ . Montrer que f est dérivable en a où a est réel quelconque.
=
−
−
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
=
−
−
→ ax
ax
lim
33
ax
=
−
++−
→ ax
)ax²a²x)(ax(
lim
ax
²a3)ax²a²x(lim
ax
=++
→
alors f est dérivable en a et on a : ²a3)a('f =
Définition 2 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:]a-h ,a](h >0)
On dit que f est dérivable à gauche en a s’il existe un nombre réel 'ℓ tel que : '
h
)a(f)ha(f
lim
0h
ℓ=
−+
−
→
ou
encore '
ax
)a(f)x(f
lim
ax
ℓ=
−
−
−
→
Le réel 'ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à gauche en a , il noté )a('f g .
Définition 3 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme : [a ,
h+a[ ( h>0)
On dit que f est dérivable à droite en x0 s’il existe un nombre réel ''ℓ tel que : ''
h
)a(f)ha(f
lim
0h
ℓ=
−+
+
→
ou
encore ''
ax
)a(f)x(f
lim
ax
ℓ=
−
−
+
→
Le réel ''ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à droite en a , il noté )a('f d
Conséquences :
1°) f est dérivable en a si et seulement si )a('f g = )a('f d nombre fini
2°)Si f est dérivable à droite de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi
tangente Td d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T dd +−= et x a≥
3°)Si f est dérivable à gauche de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi
tangente Tg d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T gg +−= et x a≤
Interprétation graphiques : ∞=
−
−
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
ou encore ∞=
−+
→ h
)a(f)ha(f
lim
0h
Si : Interprétation graphique :
+∞=
−
−
+
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
ou −∞=
−
−
−
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi tangente
verticale dirigé vers le haut d’équation : x = a
et y ≥ f(a)
+∞=
−
−
−
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
ou −∞=
−
−
+
→ ax
)a(f)x(f
lim
ax
alors Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi
tangente verticale dirigé vers le bas
d’équation : x = a et y ≤ f(a)
Exemple :
Etudier la dérivabilité de f à droite de point d’abscisse x = 0 et interpréter la résultat tel que : f(x) = x
=
−
−
+
→ 0x
)0(f)x(f
lim
0x
=+
→ x
x
lim
0x
+∞=+
→ x
1
lim
0x
alors la courbe alors Cf admet en point ( )0,0M un demi tangente verticale dirigé vers le haut d’équation : x =
0 et y ≥ 0
Fiche de cours 4ème Maths
DerivabilitesDerivabilitesDerivabilitesDerivabilites
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2. 2
Approximation affine : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
Si f est dérivable en a, alors : h)a('f)a(f)ha(f +≈+
On dit que h)a('f)a(f + est une approximation affine de )ha(f + , pour h voisin de zéro.
Exemple :Trouver une valeur approchée de 3
)98.3(
Soit 3
xx:f ֏ , a = 4 et h = -0.02 alors
100
)4('f2
)4(f)02.04(f −≈− alors 04,63)98.3( 3
≈
( le calculatrice donne : 044792,63 )
Fonction composée : Si f est dérivable sur un intervalle I et g dérivable sur un intervalle )I(fJ ⊂ alors
fg est dérivable sur I et on a pour tout x de I : ( ) ( ) )x(fg)x(f)x(fg ′×′=
′
Théorème de Rolle
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et vérifiant f(a) = f(b) .
Si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = 0 .
Théorème des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) =
ab
)a(f)b(f
−
−
Sens de variation :Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sue ]a,b[
Si f’(x) ≥ 0 sur ]a,b[ alors f est croissante sur [a,b]
Si f’(x) >0 sur ]a,b[ alors f est strictement croissante sur [a,b]
Si f’(x) ≤ 0 sur ]a,b[ alors f est décroissante sur [a,b]
Si f’(x) <0 sur ]a,b[ alors f est strictement décroissante sur [a,b]
Si f’(x) = 0 sur ]a,b[ alors f est constante sur [a,b]
Inégalités des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si : existe deux réels m et M tels que : m ≤≤≤≤ f’(x) ≤≤≤≤ M pour tout x de ]a,b[
On a alors : m ≤≤≤≤
ab
)a(f)b(f
−
−
≤M
Si pour tout x de ]a,b[ : k)x('f ≤ alors abk)x(f)b(f −≤−
Point d’inflexion :Soit x0 un réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0.
Si f’ s’annule en 0x sans changer de signe alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.
Si f’’ s’annule en 0x , en changeant de signe , alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.
Extremum
*)Si f admet un extremum local en 0x alors 0)x(f 0 =′
*)Si f ′ s’annule en 0x en changeant de signe alors f admet un extremum local en 0x .
Tableau de dérivé :
Fonction f Fonction dérivée f’ Domaine de définition de f’
F(x)= k ( constante) F’(x) = 0 R
F(x)= x F’(x) = 1 R
F(x)=ax+b F’(x) = a R
F(x) = xn ( n *
Z∈ ) F’(x) = nxn-1 R si n>0 ; R* si n <0
F(x) = x F’(x) =
x2
1 R*+
F(x) =
x
1
F’(x) = -
²x
1 R*
F(x) = cos(x) F’(x) = - sin(x) R
F(x) = sin(x) F’(x) = cos(x) R
F(x) = tan(x)
F’(x) = 1 + tan²(x) =
)x²(cos
1
R-






∈Zk;
2
k
π
F(x) = cos(ax+b) F’(x) = - a sin(ax+b) R
F(x)=sin(ax+b) F’(x) = a cos(ax+b) R
F(x)=tan(ax+b) F’(x) = a(1 + tan²(ax+b)
R-












∈
−
Zk;
a
b
2k
π

3. 3
Opérations sur les dérives
Lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I
Fonction Dérivée Conditions
u + v u’ + v’
k.u ( k =constante) k.u’
u.v u’.v + u.v’
v
1
²v
'v
−
0v ≠ sur I
v
u
²v
'v.uv'.u − 0v ≠ sur I
un ( n *
Z∈ ) n.u’.un-1 u > 0 sur I si n 0≤
u
u2
'u u > 0 sur I
uv ( )u'v'u ×