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1. Problème :étude d’une fonction proposée par Prof :
ENNAJI AHMED
Problème
On considère les fonctions f et g tel que     1
ln 1 x
f x x e 
   et
    1
1 1 x
g x x e 
  
1--vérifier que  ;1fD  
2--calculer  1
lim
x
f x

et donner une interprétation géométrique
3--vérifier que  lim
x
f x

  et calculer
 lim
x
f x
x
et interpréter ce résultat
obtenu géométriquement
4--montrer que    ;1 : 0x g x  
5--montrer que    
 ;1 : '
1
g x
x f x
x
   

6--étudier le signe de  'f x pour tout  ;1x  et donner le tableau de
variation de f
7--montrer que f admet une fonction réciproque 1
f 
définie sur un intervalle
J à déterminer
8--donner le tableau de variation de 1
f 
sur J
9--calculer  0f en déduire    1
' 0f 
10-montrer qu’il existe  1;0   unique tel que   0f   et interpréter ce
résultat géométriquement
11-‫-ا‬construire  fC et  1
f
C  dans un repère orthonormé ; ;O i j tel que :
 1i j cm 
12—en utilisant une intégration par partie calculer  
0
1
ln 1 x dx



2. 13-en déduire l’aire du domaine plan limite par  fC ,l’axe des abscisses et les
droites d’équations respectives 1x   ‫و‬ 0x 