Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
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Motivation pour ce cours
Au cours pr´ec´edent, nous avons discut´e certaines m´ethodes pour :
´etablir une sp...
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Approches pour la conception de filtres
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
fréquence du gabarit
(vers ...
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Pour la synth`ese en cascade,...
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Cellules de Sallen-Key (ou KRC) : passe-...
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Modification du gain statique
Pour la con...
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Exemple
Concevoir un filtre passe-bas du ...
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Filtres de Sallen-Key : passe-bande
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Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2
Les...
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Synth`ese en cascade
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Synth`ese en cascade
Synth`ese en cascade
On factorise la fonction de transfert du filtre H `a r´ealiser (cf. ...
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Synth`ese en cascade
Exemple : Imp´edance de sortie des cellules de Sallen-Key
Exercice : les cellules de Sal...
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Synth`ese en cascade
Consid´erations pour l’agencement des blocs
Choix de conception pour l’agencement des bl...
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Synth`ese en cascade
Consid´erations pour l’agencement des blocs
Influence de l’agencement des blocs
Impact de...
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Synth`ese en cascade
Consid´erations pour l’agencement des blocs
Consid´erations pour l’agencement des blocs ...
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Synth`ese en cascade
D´enormalisation en imp´edance
Plan pour ce cours
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Synth`ese en cascade
D´enormalisation en imp´edance
D´enormalisation en imp´edance
Theorem
Multiplier toutes ...
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Synth`ese en cascade
Exemple
Plan pour ce cours
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Introduction
Synth`ese en cascade
Exemple
Exemple : filtre de lissage
DACComputer
k
Smoothing
filter
t t
40 kHz fa=20 kHz
Co...
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Synth`ese en cascade
Exemple
Exemple : fonction de transfert
fa = 20 kHz. Facteur de transition k = .
Ordre d...
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Synth`ese en cascade
Exemple
Exemple : circuit
AC 1
V1
R1
10.69k
R2
10.02k
C1
2.2nF
C2
5.1nF U1
R3
8.191k
R4
...
Introduction
Synth`ese en cascade
Exemple
Conclusion
Nous avons discut´es quelques exemples d’architectures r´ealisant les...
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Synth`ese en cascade
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R´ef´erences
Les r´ef´erences suivantes peuvent ˆetre utilis´ees pour approfondi...
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ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires II

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Synthèse en cascade de filtres actifs.

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ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires II

  1. 1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 4 - Filtres analogiques lin´eaires II Synth`ese en cascade de filtres actifs Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/1
  2. 2. Introduction Motivation pour ce cours Au cours pr´ec´edent, nous avons discut´e certaines m´ethodes pour : ´etablir une sp´ecification de filtre (choix de gabarit), et obtenir une fonction de transfert satisfaisant ces sp´ecifications. Il reste maintenant `a concevoir des circuits permettant de r´ealiser ces fonctions de transfert. Nous verrons deux approches classiques : Synth`ese en cascade (ce cours) : on factorise H(s) en produit de fonctions de transfert d’ordre 2, plus un terme d’ordre 1 si l’ordre de H est impair : H(s) = H1(s)H2(s) . . . H n/2 (s) On cascade alors des quadripˆoles de topologies standard synth´etisant chaque facteur d’ordre 1 ou 2. Des composants actifs permettent d’´eviter les couplages entre ´etages (Zout = 0 ou Zin = ∞). Avantages : modularit´e, relative simplicit´e, possibilit´e de r´egler chaque ´etage ind´ependamment, etc. M´ethodes de “synth`ese globale” (prochain cours) : reposent souvent sur les m´ethodes classiques de synth`ese de circuits passifs (R,L,C). Pour des fr´equences mod´er´ees, on peut remplacer les bobines par des composants actifs. Il existe d’autres approches standard pour la conception de filtres actifs analogiques, en particulier pour r´ealiser des filtres en circuits int´egr´es (CMOS), aux basses et hautes fr´equences : filtres `a capacit´es commut´ees, filtres gm-C. Vous trouverez de nombreux livres sur le sujet. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/1
  3. 3. Introduction Approches pour la conception de filtres Choix du gabarit du filtre Normalisation en fréquence du gabarit (vers le passe-bas normalisé) Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit normalisé Dénormalisation en fréquence de la fonction de transfert Réalisation par un circuit de la fonction de transfert dénormalisée Filtre standards tabulés (Butterworth, Tchebyshev, etc.) Forme dévelopée et factorisée Dénormalisation en impédance Réalisation par un circuit de la fonction de transfert normalisée Tables de circuits prototypes disponibles (passifs, à simuler si besoin) Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de composants) Plutôt synthèse en cascade d'un circuit actif approche de synthèse globale circuit final à vérifier et tester ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/1
  4. 4. Introduction Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/1
  5. 5. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 1 Filtres actifs d’ordre 1 Pour la synth`ese en cascade, on a besoin d’au plus un filtre d’ordre 1 (si l’ordre de H est impair), qui termine g´en´eralement le circuit. Au cours 2, nous avons rencontr´e les filtres RC passifs d’ordre 1 passe-haut et passe-bas, ainsi que l’int´egrateur et le d´erivateur. R´ealisations de filtres (RC) actifs d’ordre 1 (Exercice : fns de tx + Bode) : Passe-bas : (int´egrateur modifi´e) - + = +Vi Vo R1 R2 C H(s) = H0 1 + s/ω0 H0 = − R2 R1 , ω0 = 1 R2C Passe-haut : (d´erivateur modifi´e) - + = +Vi Vo R1 R2C H(s) = H0 s/ω0 1 + s/ω0 H0 = − R2 R1 , ω0 = 1 R1C Passe-tout : - + = +Vi Vo R1 R2= R1 C R H(s) = 1 − RCs 1 + RCs D´ephasage asymptotique : − 180◦ Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/1
  6. 6. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/1
  7. 7. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Cellules de Sallen-Key (ou KRC) : passe-bas Nous introduisons quelques architectures possibles pour r´ealiser des filtres actifs d’ordre 2 ou biquadratiques (sp´ecifi´es par leur Q et ω0) Un filtre passe-bas de Sallen-Key (ou KRC) peut ˆetre vu comme 2 ´etages RC avec une boucle de r´etroaction pour booster le gain autour de la fr´equence de coupure : = + K R1 R2 C1 C2Vi Vo = + R1 R2 C1 C2 Vi Vo + - Vo/K V1 RB RA (Exercice :) H(s) = K 1 s ω0 2 + 1 Q s ω0 + 1 K = 1 + RB RA , ω0 = 1 √ R1C1R2C2 , 1 Q = (1 − K) R1C1 R2C2 + R1C2 R2C1 + R2C2 R1C1 . 2 choix typiques : composants ´egaux (R1 = R2 = R, C1 = C2 = C) ; ou gain unitaire (RB = 0, RA = ∞). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/1
  8. 8. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Passe-bas de Sallen-Key : configuration composants ´egaux On prend R1 = R2 = R, C1 = C2 = C (simplification de l’inventaire) ω0 = 1 RC , Q = 1 3 − K , et RB = RA(K − 1). On peut r´egler ω0 et Q ind´ependemment. Pour r´ealiser Q ´elev´e, il faut K proche de 3, i.e. RB /RA proche de 2. Mais Q devient alors tr`es sensible `a toute variation de ce rapport Pour RB RA = 1.9, on a Q = 10. Pour RB RA > 2, on a Q < 0, et le circuit devient instable ! En pratique, on se limite donc `a Q 10. On a la contrainte K = 3 − 1/Q, mais on peut en partie rem´edier `a cela (voir diapositive suivante). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/1
  9. 9. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Modification du gain statique Pour la configuration de Sallen-Key composants ´egaux, la sp´ecification du facteur de qualit´e fixe la valeur du gain statique K = 3 − 1/Q. La modification suivante permet d’obtenir un gain statique |K0| < |K| sans rajouter d’AO : remplacer R `a l’entr´ee par R , R = + R' R C C Vo + - RA (K-1) RA R''Vi= +ViR'' / (R'+R'') R' // R'' 1 1 Equivalent Thévenin On prend R R = R → mˆeme ω0, Q Le gain statique de vi `a vo devient K0 = R R +R K Solution (exercice) : R = R K K0 , R = R 1 − K0 K Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/1
  10. 10. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Exemple Concevoir un filtre passe-bas du second ordre avec f0 = 1 kHz, Q = 5, et gain statique 0 dB. On dispose de condensateurs de 10 nF. N.B. : Typiquement dans la conception des circuits RC, on commence par fixer les condensateurs, pour lesquels on a g´en´eralement moins de choix comparativement aux r´esistances. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/1
  11. 11. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Passe-bas de Sallen-Key : configuration gain unitaire Avec K = 1 (AO suiveur de tension) ω0 = 1 √ R1C1R2C2 , 1 Q = R1C2 R2C1 + R2C2 R1C1 . Posons R2 = R, C2 = C, R1 = mR, C1 = nC ω0 = 1 √ mnRC , 1 Q = m n + 1 √ mn ⇒ Q = √ mn m + 1 On a n´ecessairement Q ≤ 1 2 √ n (atteint pour m = 1), i.e., 4Q2 ≤ n. Approche pour la conception : Choisir d’abord 2 condensateurs disponibles C, C1 tels que n = C1/C v´erifie l’in´egalit´e n ≥ 4Q2. R´esoudre l’´equation quadratique pour √ m ´etant donn´es n et Q : m − √ n Q √ m + 1 = 0. On trouve 2 solutions possibles pour √ m, puis pour m (en rempla¸cant dans l’´equation quadratique) m = α ± α2 − 1, avec α = n 2Q2 − 1. Finalement, choisir R pour ajuster ω0. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/1
  12. 12. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Avantages et inconv´enients de cette configuration Agantages de la configuration gain unitaire : r´eduction du nombre de composants (pas de RA, RB ), maximisation de la bande passante de l’AO en configuration suiveur, pas de perte de stabilit´e . . . D´esavantages : r´eglage moins facile (ω0 et Q coupl´es), augmentation rapide du rapport de capacitances n avec Q (et donc de la surface pour les circuits int´egr´es) → En pratique utilis´e aussi pour Q ≤ 10 (c.-`a-d. n ≤ 400). Exemple Concevoir un filtre de Butterworth du 2nd ordre avec une fr´equence de coupure `a −3 dB de 10 kHz. Pour cela, utiliser un filtre de Sallen-Key en configuration gain unitaire. A 20 kHz en RPS, si Vi = 10∠ − 90◦ , calculer Vo. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/1
  13. 13. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Filtres de Sallen-Key : passe-haut = + R1 R2 C1 C2 Vi Vo + - Vo/K V1 RB RA Echanger les composants R1 et C1, R2 et C2 donne un passe-haut. Exercice : ´echanger Gi et sCi dans la fonction de tx pr´ec´edente donne : H(s) = K s ω0 2 s ω0 2 + 1 Q s ω0 + 1 , K = 1 + RB RA , ω0 = 1 √ R1C1R2C2 , 1 Q = (1 − K) R2C2 R1C1 + R1C2 R2C1 + R1C1 R2C2 . Configurations composants ´egaux et gain unitaire possibles. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/1
  14. 14. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Filtres de Sallen-Key : passe-bande = + R3 R2 C1 C2 Vi Vo + - Vo/K RB RA R1 Etages RC + CR pour passe-bande, et r´etroaction positive comme avant. (Exercice :) H(s) = H0 1 Q s ω0 s ω0 2 + 1 Q s ω0 + 1 Parmi les configurations typiques, on peut prendre R1 = R3 = R, R2 = 2R, C1 = C2 = C, et dans ce cas ω0 = 1 RC , Q = 1 3 − K , H0 = KQ, avec K = 1 + RB RA . Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/1
  15. 15. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key Filtres de Sallen-Key : coupe-bande (symm´etrique) = + R Vi Vo + - Vo/K RB RA R R/2 C C 2C Deux chemins pour atteindre l’entr´ee de l’AO, RR `a basses fr´equences, CC `a hautes fr´equences. A fr´equences interm´ediaires, les phases sur ces deux chemins sont oppos´ees et les signaux tendent donc `a s’annuler. (Exercice :) H(s) = K 1 + s ω0 2 s ω0 2 + 1 Q s ω0 + 1 ω0 = 1 RC , Q = 1 4 − 2K Ce coupe-bande est symm´etrique, son gain s’annule `a ω = ω0 Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/1
  16. 16. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/1
  17. 17. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Filtres (universels) `a variable d’´etat A cause des inconv´enients mentionn´es ci-dessus, les filtres de Sallen-Key sont typiquement utilis´es pour Q ≤ 10. Ces filtres KRC utilisent 1 seul AO. Mais ajouter des AO a un faible coˆut et peut offrir une flexibilit´e int´eressante. Le circuit suivant r´ealise les 3 fonctions passe-bas (LP), passe-bande (BP) et passe-haut (HP) directement `a l’aide de 3 AO (filtre universel) - += +Vi R3 R3 VHP R3 - + - + R C CR R1 R2 VBP VLP On verra qu’un quatri`eme AO permet de r´ealiser aussi un coupe-bande. Impl´ementation possible avec modules de 4 AO sur un seul circuit int´egr´e. Nous allons d´ecomposer ce circuit dans les diapositives suivantes. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/1
  18. 18. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Filtres `a variable d’´etat Repr´esentation du circuit pr´ec´edent sous forme de sch´ema bloc 1/Q - + + s !0 Vo s2 !2 0 Vo Vo Vi !0 s !0 s Passe-bas d’ordre 2 : Vo(s) Vi (s) = 1 s ω0 2 + 1 Q s ω0 + 1 ⇔ s ω0 2 Vo = Vi − Vo − 1 Q s ω0 Vo On peut lire le sch´ema bloc ci-contre `a reculons, `a partir de Vo. L’´egalit´e ci-dessus est r´ealis´ee `a la sortie du bloc sommateur. On utilisera 2 A.O. pour les int´egrateurs inverseurs, 1 A.O. pour la combinaison lin´eaire `a l’entr´ee. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/1
  19. 19. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Variation sur le sommateur inverseur - + = + = + = +v1 v2 v3 R1 R2 RF vo (v3) i1 i2 iF A l’entr´ee, on n’utilise pas exactement le sommateur inverseur standard `a cause des signes diff´erents. Consid´erons `a la place le circuit ci-dessus. On montre en exercice (imm´ediat par le principe de superposition) : vo = − RF R1 v1 − RF R2 v2 + 1 + RF R1||R2 v3. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/1
  20. 20. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Filtres `a variable d’´etat : impl´ementation - += +Vi R3 R3 VHP R3 - + - + R C CR R1 R2 VBP VLP 2 int´egrateurs : ω0 = 1 RC →VBP = − s ω0 VLP , VHP = s2 ω2 0 VLP AO d’entr´ee : VHP = −Vi − VLP + 1 + R3 R3/2 R1 R1 + R2 VBP Q = 1 3 1 + R2 R1 → s2 ω2 0 VLP = −Vi − VLP − 1 Q s ω0 VLP VLP Vi passe-bas (inverseur), VBP Vi passe-bande (avec facteur de gain Q), VHP Vi passe-haut (inverseur). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/1
  21. 21. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Avantages des filtres `a variable d’´etat Q ne d´epend que de R2/R1 → sensibilit´e faible aux variations en circuit int´egr´e. ω0 et Q r´eglables ind´ependamment. Pas de probl`eme de stabilit´e. Pas de probl`eme de composants de taille tr`es diff´erente (cf. Sallen-Key gain unitaire). Les filtres d’ordre 2 utilisant cette d’architecture peuvent ˆetre utilis´es pour obtenir Q de plusieurs centaines. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/1
  22. 22. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Variables d’´etat Il nous reste `a expliquer le nom de ce filtre. L’architecture pr´ec´edente a en fait une signification th´eorique importante et permet de r´ealiser une fonction de transfert d’ordre quelconque (cf. prochain cours). La fonction de transert Vo Vi = 1 s ω0 2 + 1 Q s ω0 +1 correspond `a l’EDO du second degr´e et au syst`eme d’EDO (avec x1 = vo, x2 = ˙vo ⇒ ˙x2 = ¨vo) 1 ω2 0 ¨vo + 1 Qω0 ˙vo + vo = vi ↔ ˙x1 = x2 1 ω2 0 ˙x2 = − 1 Qω0 x2 − x1 + vi Les variables x1 = vo et x2 = ˙vo sont dites variables d’´etat du syst`eme : connaitre x1(τ), x2(τ) et vi (t) pour t ≥ τ est suffisant pour connaˆıtre l’´evolution du syst`eme pour t ≥ τ (par int´egration du syst`eme d’EDO) 1/Q - + + s !0 x1 = 1 !0 x2 s2 !2 0 Vo x1 = vo Vi !0 s !0 s s !0 vo 1 !0 x2 = 1 !0 ˙vo s !0 x2 !0 = s !2 0 x2 = s2 !2 0 vo Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/1
  23. 23. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat Exemple Choisir des valeurs de composants pour que le filtre passe-bande du filtre `a variable d’´etat pr´ec´edent soit centr´e `a 1 kHz et ait une bande passante (`a −3 dB) de 10 Hz. Quel est le gain de ce filtre `a la fr´equence de r´esonance ? Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/1
  24. 24. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Autres r´ealisations de biquads Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/1
  25. 25. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Autres r´ealisations de biquads Autres r´ealisations de biquads Les filtres de Sallen-Key ou `a variable d’´etat ne sont que deux exemples de topologies possibles pour la r´ealisation de filtres actifs d’ordre 2. Parmis les autres filtres du second-ordre, citons les filtres de ˚Ackerbeg-Mossberg, de Delyiannis-Friend, de Rauch, `a convertisseur d’imp´edance g´en´eralis´e, etc. (consulter les r´ef´erences pour plus d’informations). On utilisera g´en´eralement des circuits de topologie standard, car ceux-cis ont ´et´e retenus avec le temps pour leurs bonnes propri´et´es, par exemple leur faible sensibilit´e aux variations de composants. Les circuits avec un seul AO peuvent coˆuter moins cher et sont valables tant que le Q demand´e est faible. Ceux avec plus d’AO ont des avantages en g´en´eral en termes de plus faible sensibilit´e, plus grand robustesse et plage de stabilit´e, facilit´e de r´eglage, etc. Ils sont pr´ef´erable ou mˆeme n´ecessaires pour des Q plus ´elev´es. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/1
  26. 26. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Autres r´ealisations de biquads Exemple : biquad passe-bande de Delyiannis-Friend - + C CR1 R2 = +Vi VoV1 Vo = −sR2C V1 (derivateur) LKC `a V1 → Vo Vi = − sR2C s2R1R2C2 + 2sR1C + 1 ω0 = 1 C √ R1R2 , Q = 1 2 R2 R1 , gain central − 2Q2 . Pour des Q ´elev´es, il faut des r´esistances tr`es diff´erentes. On peut diminuer le gain de r´esonnance par la m´ethode de la diapositive 9. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/1
  27. 27. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Autres r´ealisations de biquads Exemple : filtre biquadratique de Tow-Thomas - + - + - + = + R1 R2 R4 R5 R3 R3C1 C2 VBP VLP -VLP Vi LKC au premier noeud : Vi R1 = VLP R5 − VBP R2 − sC1VBP VLP = − 1 R4C2s VBP (int´egrateur) ⇒ VLP Vi = R5 R1 HLP (s), VBP Vi = − R2 R1 HBP (s) o`u HLP , HBP sont les fonctions de transfert normalis´ees du passe-bas et passe-bande du 2nd ordre, avec (g´en´eralement R4 = R5 = R, C1 = C2 = C) ω0 = 1 √ R4R5C1C2 , Q = R2 √ C1 √ R4R5C2 . Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/1
  28. 28. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Autres r´ealisations de biquads Exemple Concevoir un biquad de Tow-Thomas pour obtenir un filtre passe-bande de fr´equence de r´esonnance f0 = 8 kHz, de largeur de bande B = 200 Hz, et de gain `a la r´esonnace de 20 dB. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/1
  29. 29. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/1
  30. 30. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 Les filtres coupe-bande d’ordre 2 ont une pulsation ωz ou le gain s’annule dans leur bande d’arrˆet (z´eros `a s = ±jωz sur l’axe des imaginaires). Appel´es aussi filtre notch (`a encoche). Ces filtres (d´enot´es ici HN (s)) peuvent ˆetre obtenus par combinaison lin´eaire d’un passe-bande HBP (s) et d’un passe-bas HLP (s). Supposant HBP = 1 Q s ω0 s2 ω2 0 + 1 Q s ω0 +1 et HLP = 1 s2 ω2 0 + 1 Q s ω0 +1 normalis´es, avec les mˆemes ω0 et Q HN (s) = α(1 − HBP (s)) + βHLP (s) = α s2 ω2 0 + α + β s2 ω2 0 + 1 Q s ω0 + 1 HN (s) = (α + β) s2 ω2 z + 1 s2 ω2 0 + 1 Q s ω0 + 1 , ω2 z = ω2 0(1 + β/α) Ces filtres peuvent donc ˆetre r´ealis´es par exemple `a l’aide d’un 4`eme AO impl´ementant une combinaison lin´eaire des sorties BP et LP d’un filtre universel Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/1
  31. 31. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : classification HN (s) = (α + β) s2 ω2 z + 1 s2 ω2 0 + 1 Q s ω0 + 1 , ω2 z = ω2 0(1 + β/α) β = 0 : coupe-bande symm´etrique, notch `a ωz = ω0 β > 0 : coupe-bande “passe-bas”, notch `a ωz > ω0 β < 0 : coupe-bande “passe-haut”, notch `a ωz < ω0 Coupe-bande non-symm´etriques utiles par ex. pour la r´ealisation des filtres elliptiques, qui ont des z´eros dans leur bande d’arrˆet. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/1
  32. 32. Introduction Filtres actifs d’ordre 1 et 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : exemple de r´ealisation Le circuit suivant r´ealise un filtre notch par combinaison lin´eaire d’un filtre biquadratique de Tow-Thomas Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/1
  33. 33. Introduction Synth`ese en cascade Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/1
  34. 34. Introduction Synth`ese en cascade Synth`ese en cascade On factorise la fonction de transfert du filtre H `a r´ealiser (cf. cours 3) H(s) = H1(s)H2(s) . . . H n/2 (s), o`u chaque Hi est d’ordre 2 (sauf peut-ˆetre l’un deux d’ordre 1). On r´ealise cette multiplication par une cascade de filtres H1 H2 Hk + - + - vi vo en utilisant comme cellules ´el´ementaires les montages pr´ec´edents par exemple. Pour que la cascade r´ealise exactement le produit des fonctions de transfert (rapports de tensions), il faut qu’`a chaque connection, la r´esistance de sortie de l’´etage pr´ec´edent soit tr`es petite (id´ealement 0) par rapport `a la r´esistance d’entr´ee de l’´etage suivant (id´ealement ∞). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/1
  35. 35. Introduction Synth`ese en cascade Exemple : Imp´edance de sortie des cellules de Sallen-Key Exercice : les cellules de Sallen-Key ont une imp´edance de sortie nulle (en supposant l’AO id´eal) et peuvent donc ˆetre mises en cascade sans att´enuation de gain. R3 R2 C1 C2 Vo+ - Vo/K RB RA R1 Rg Io Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/1
  36. 36. Introduction Synth`ese en cascade Consid´erations pour l’agencement des blocs Choix de conception pour l’agencement des blocs En ignorant l’´etage d’ordre 1 ´eventuel, on a les factorisations H(s) = b2ns2n + . . . + b0 s2n + . . . + a0 = n i=1 ki α2,i s2 + α1,i s + α0,i s2 + sω0,i Qi + ω2 0,i Choix de conception associations pˆoles-z´eros pour chaque ´etage (jusqu’`a n! possibilit´es). ordre des ´etages (n! possibilit´es). r´epartition des gains ki entre les ´etages (avec contrainte sur n i=1 ki ). Ces choix n’ont pas d’importance du point de vue math´ematique avec les mod`eles id´eaux utilis´es jusqu’ici. Mais en pratique peuvent avoir une influence critique sur la performance. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/1
  37. 37. Introduction Synth`ese en cascade Consid´erations pour l’agencement des blocs Influence de l’agencement des blocs Impact des choix pr´ec´edents sur la performance : La sortie |Vo(jω)|, pour tout j et tout ω, doit ˆetre inf´erieure `a un maximum tol´er´e pour maintenir la lin´earit´e du circuit (par ex., en raison de la saturation des AO). Sinon on introduit de la distorsion. Cela peut-ˆetre un probl`eme en particulier `a la sortie des ´etages `a Q ´elev´e. Dans la bande passante du circuit, |Vo(jω)| `a toute sortie d’´etage j ne doit pas ˆetre trop att´enu´e par rapport au niveau de bruit, c’est-`a-dire que le rapport signal-sur-bruit doit rester suffisamment ´elev´e. Sinon, le signal peut devenir irr´ecup´erable, les ´etages suivant r´eamplifiant le bruit de la mˆeme fa¸con que le signal utile. Les choix de conception pr´ec´edents permettent d’optimiser la plage dynamique du circuit, i.e., le rapport entre plus grand et plus petit signal qui peut ˆetre trait´e avec un niveau de distorsion acceptable. Pour minimiser la distortion, maintenir un ´equilibre entre les ´etages. Exemple trivial : r´ealiser un gain statique de 1 avec deux ´etages de gain 1000 et 1/1000 est clairement une mauvaise id´ee. L’amplitude des signaux d’entr´ee devra ˆetre beaucoup plus petite pour maintenir les AO hors saturation que si on avait seulement des ´etages de gain ´egal `a 1. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/1
  38. 38. Introduction Synth`ese en cascade Consid´erations pour l’agencement des blocs Consid´erations pour l’agencement des blocs (suite) Optimiser au mieux les choix de conceptions pr´ec´edents donne lieu `a des probl`emes de calcul difficiles. En l’absence d’outils sp´ecialis´es, on utilisera des heuristiques comme : Associer chaque pˆole au z´ero le plus proche (approximativement, sinon “Euclidean matching”). But : avoir une r´eponse fr´equentielle d’amplitude la plus plate possible pour chaque ´etage. Ordonner les ´etages du Q le plus petit `a celui le plus grand. But : avoir la r´eponse la plus plate possible le plus longtemps possible entre l’entr´ee et la sortie de chaque ´etage. R´epartition des gains : on d´esire que les amplitudes max `a la sortie de chaque ´etage soient ´egales : Avec H(s) = n i=1 ki n i=1 ti (s), d´efinissons Ml := max ω l i=1 |ti (jω)|, K := n i=1 ki . Alors k1M1 = KMn ⇒ k1 = KMn/M1 k1 . . . kl Ml = k1 . . . kl−1Ml−1 ⇒ kl = Ml−1/Ml , l = 2, . . . , n. Autres condid´erations possibles. Par exemple, on d´esire souvent commencer par un passe-bas (pour le filtrage du bruit haute fr´equence) et finir par un passe-haut (pour diminuer un offset ind´esirable ´eventuel). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/1
  39. 39. Introduction Synth`ese en cascade D´enormalisation en imp´edance Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/1
  40. 40. Introduction Synth`ese en cascade D´enormalisation en imp´edance D´enormalisation en imp´edance Theorem Multiplier toutes les imp´edances des composants d’un circuit lin´eaire par un mˆeme facteur ne change pas une fonction de transfert qui est un rapport de tensions ou un rapport de courants (c’est-`a-dire, sans dimension). Une d´enormalisation en imp´edance par un facteur α veut dire : Multiplier toutes les r´esistances par α. Multiplier toutes les inductances par α. Diviser toutes les capacit´es par α (afin de multiplier 1 Cs par α). La d´enormalisation en imp´edance est utile pour passer de circuits prototypes avec des valeurs de composants (R, C, L) donn´es, `a des circuits pour lesquels ces valeurs sont plus commodes pour une application donn´ee. On l’utilisera surtout pour les prototypes de circuits passifs (prochain cours). N.B. : pour les circuits RC actifs, les fr´equences critiques sont contrˆol´ees par des produits RC, qui restent bien inchang´es par cette d´enormalisation en imp´edance. Celle-ci permet certains ajustements, mais pour des fr´equences faibles, i.e., RC grands, on doit avoir soit R soit C grand, et les deux cas sont ind´esirables pour les circuits int´egr´es en particulier. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 40/1
  41. 41. Introduction Synth`ese en cascade Exemple Plan pour ce cours Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/1
  42. 42. Introduction Synth`ese en cascade Exemple Exemple : filtre de lissage DACComputer k Smoothing filter t t 40 kHz fa=20 kHz Concevoir un filtre passe-bas de Tchebychev pour lisser la sortie d’un convertisseur analogique digital travaillant `a 40 kHz. On veut une att´enuation de 40 dB `a la fr´equence de Nyquist (20 kHz). Bande passante : fp = 13 kHz, att´enuation maximale de 1 dB. Table (avec fp = 1 Hz au lieu de ωp = 1 rad/s) : Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/1
  43. 43. Introduction Synth`ese en cascade Exemple Exemple : fonction de transfert fa = 20 kHz. Facteur de transition k = . Ordre du filtre de Tchebychev : D’apr`es la table, et apr`es d´enormalisation H(s) = R´ealisation possible : cellules de Sallen-Key en configuration gain unitaire, ordonn´ees selon les Q croissants ω3 = 2π × 13 × 103 × 0.353 = 28.8 × 103 rad/s, Q3 = 0.753 ω2 = 2π × 13 × 103 × 0.747 = 61 × 103 rad/s, Q2 = 2.198 ω1 = 2π × 13 × 103 × 0.995 = 81.3 × 103 rad/s, Q1 = 8 On pourrait aussi tenter d’utiliser la configuration composants ´egaux `a la place, et essayer de r´epartir les gains ki diff´eremment. Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/1
  44. 44. Introduction Synth`ese en cascade Exemple Exemple : circuit AC 1 V1 R1 10.69k R2 10.02k C1 2.2nF C2 5.1nF U1 R3 8.191k R4 6.434k C3 510pF C4 10nF U2 R5 4.554k R6 2.438k C5 220pF C6 62nF U3 Vout niV .ac dec 100 1kHz 100kHz .lib opamp.sub Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/1
  45. 45. Introduction Synth`ese en cascade Exemple Conclusion Nous avons discut´es quelques exemples d’architectures r´ealisant les fonctions de transfert d’ordre 1 et 2. Il existe bien sˆur beaucoup d’autres prototypes de circuits permettant de r´ealiser ces fonctions de transfert ´el´ementaires. Le choix de cellules ´el´ementaires pour r´ealiser une synth`ese en cascade repose sur diverses consid´eration pratiques d´ej`a ´evoqu´ees, par exemple de sensibilit´e, coˆut, etc. Avec plus de temps pour r´esoudre un probl`eme de conception, vous pourrez vous reporter `a la litt´erature pour obtenir plus de d´etails et faire ce choix. Ces cellules ´el´ementaires peuvent ensuite ˆetre mises en cascades pour r´ealiser des filtres d’ordre plus ´elev´es tels que ceux d´ecrits au cours 3. Ici on utilise les caract´eristiques des cellules actives qui pr´esentent une imp´edance de sortie tr`es petite et une imp´edance d’entr´ee tr`es grande → les ph´enom`enes de charge entre ´etages peuvent ˆetre n´eglig´es pour la conception (il faut quand mˆeme v´erifier le design par simulation et exp´erimentalement . . . ). Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 45/1
  46. 46. Introduction Synth`ese en cascade Exemple R´ef´erences Les r´ef´erences suivantes peuvent ˆetre utilis´ees pour approfondir. S. Franco, “Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Circuits”, 3`eme ´edition, chapitre 3. J. A. Svoboda and R. C. Dorf, “Introduction to Electric Circuits”, 9`eme ´edition, chapitre 16. R. Schaumann, H. Xiao, M. Van Valkenburg, “Design of Analog Filters”, 2`eme ´edition. Wikipedia, “Sallen-Key Topology” http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology Version du 3 d´ecembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/1

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